История текстовых задач кратко

Обновлено: 05.07.2024

Цель работы
1) Изучить историю возникновения арифметических
задач,
причины, побудившие их возникновение, авторовсоставителей задач, их биографии.
2) Подробнее познакомиться со старинными
единицами измерения.
3) Проследить методы решения задач: от простых
арифметических (арифметический способ) до более
сложных задач на доказательство и решаемых с
помощью уравнений, систем.
4) Найти новые методы решения задач.

Перевод единиц измерений
Вершок - 44.38 мм
Аршин - 0.71 м = 16 вершков =
2.333 фута = 28 дюймов
Сажень - 3 аршина = 2.13 м
Верста -1066.78 м = 500
саженей

Задачи на старинные русские
меры длины
Задача № 1
Условие
Расстояние между дворцом государя и боярским поместьем равно 40
верстам. Из поместья выехал приказчик со скоростью 8 верст/час.
Сколько часов он ехал?
Решение
1) 40*1,066=42, 64 (км)
2) 8*1,066=8,528 (км/ч)
3) 42,64:8,528=5 (ч)
Ответ:Приказчик ехал 5 часов.

Задача № 2
Условие
Иван был на 3 вершка выше Федора, но ниже Ильи на 1 вершок. На
сколько Илья выше Федора?
Решение
1) 3*4,4445=13,3335 (см)
2) 4,4445+13,3335=17,778 (см)
Ответ: Илья выше Федора на 17,778 см.

Задача № 3
Условие
Замостили брусчаткой 25% всей главной улицы города. Вся длина
улицы составляла 4 версты, а ширина дороги составляла 2 сажени.
Сколько осталось замостить дороги, если еще замостили 5
саженей2?
Решение
1)
4*500=2000 (саж.)
2)
2000*2=4000 (саж2.)
3)
4000*0,25=1000(саж2.)
4)
1000+5=1005 (саж2.)
5)
4000-1005=2995 (саж2.)
Ответ: Осталось замостить 2995 саженей2 дороги.

Леонтий Филиппович
Магницкий (1669-1739)
Род. в семье крестьянина. Самоучкой выучился грамоте. В
1684 был послан крестьянами с рыбой в ИосифоВолоколамский монастырь, где был оставлен "для чтения", а в
дальнейшем отправлен в Симонов монастырь в Москве. В 1685
- 1694 учился в Славяно-греко-латинской академии. В 1694 1701 Магницкий жил в Москве, занимался самообразованием,
изучив немецкий, голландский, итальянский языки и
математику. 22 февр. 1701 по распоряжению Петра I
Магницкий был назначен преподавателем Навигацкой школы
и ему было поручено написать учебник по математике и
кораблевождению. В 1703 Магницкий разработал рукописный
курс по геометрии, тригонометрии и кораблевождению и
выпустил в свет первый рус. учебник по математике
"Арифметика, сиречь наука числительная" тиражом 2 400 экз.
По этому учебнику учился М.В. Ломоносов. Составленная
"ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого
чина и возраста людей", эта книга служила полстолетия
распространению математических знаний в России. В 1703 - 1739 Магницкий занимался подготовкой для Навигацкой
школы преподавателей из числа лучших учащихся. В 1704 по
распоряжению Петра I для Магницкого был построен дом, а за
"непрестанные и прилежные в навигацких школах во учении
труды" Магницкий был награжден "саксонским кафтаном". В
1715 Магницкий стал старшим преподавателем. Будучи
бессменным преподавателем Навигацкой школы в течение
почти четырех десятилетий, а затем и главным ее
руководителем, Магницкий способствовал успеху петровских
преобразований в области просвещения.

Житейские истории
Задача № 4
Условие
Косцы. В жаркий день 6 косцов выпили
бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать,
сколько косцов за 3 часа выпьют такой же
бочонок кваса.
Решение
Обозначим неизвестное количество косцов
буквой х. Запишем:
6 косцов 8 часов
Х косцов 3 часа
Составим пропорцию:
Х/6=8/3
3х=48
Х=16
Следовательно, 16 косцов за 3 часа выпьют
такой же бочонок кваса.

Денежные расчеты
Задача № 8
Условие
Сколько стоит кафтан? Хозяин нанял работника на год и
обещал заплатить ему 12 рублей и впридачу дать кафтан. Но
тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете
он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан?
Решение
Знаем, что работник не доработал у хозяина 5 месяцев и
недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах
составляет 7/5 рубля, или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев
составит 7*7/5=9 4/5 рубля, или 9 рублей 80 копеек.
Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит,
кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

Леонард Эйлер
(1707-1783)
ЭЙЛЕР, ЛЕОНАРД (1707–1783), великий математик, механик
и физик. Родился 4 апреля 1707 в Базеле. Учился в
Базельском университете (1720–1724), где его учителем
был известный математик Иоганн Бернулли. Уже в 1722, в
возрасте 16 лет, получил степень магистра искусств. В
1727 переехал в Санкт-Петербург, получив место
адъюнкт-профессора в недавно основанной Академии наук
и художеств. В 1730 стал профессором физики, в 1733 –
профессором математики. За 14 лет своего первого
пребывания в Петербурге Эйлер опубликовал более 50
работ. В 1741–1766 он работал в Берлинской академии наук
под особым покровительством Фридриха II, и за эти 25
лет написал огромное множество сочинений,
охватывающих по существу все разделы чистой и
прикладной математики. В 1766 по приглашению
Екатерины II Эйлер возвратился в Россию. Вскоре после
прибытия в Санкт-Петербург он полностью потерял
зрение из-за катаракты, но благодаря великолепной
памяти и способностям проводить вычисления в уме до
конца жизни занимался научными исследованиями: за это
время им было опубликовано около 400 работ, общее же их
число превышает 850. Умер Эйлер в Санкт-Петербурге 17
сентября 1783.

Задача Эйлера
Задача № 9
Условие
Докажите, что в произвольном выпуклом
четырехугольнике сумма квадратов длин
сторон превышает сумму квадратов длин
диагоналей на величину, равную
учетверенному квадрату расстояния
между серединами диагоналей.
B
C
Доказательство
Пусть ABCD-выпуклый четырехугольник, точки H
и G-середины диагоналей AC и BD. На продолжении
отрезка AG за точку G отложим точку E такую,
что AG=GE. Аналогично на продолжении отрезка
CG за точку G отложим точку F такую, что
CG=GF. В четырехугольниках ABED, ACEF, и BCDF
диагонали в точке их пересечения G делятся
пополам. Следовательно, эти четырехугольникипараллелограммы. Так как
H
A
E
G
F
D

Сколько кому лет
Задача № 10
Условие
Сколько им лет? Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне
было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько
мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому?
Решение
Пусть возраст старшего из беседующих-х, а возраст младшего-у. По условию
задачи, когда старшему было у лет (а было это х-у лет тому назад) и,
следовательно, младшему у-(х-у)=2у-х лет, возраст младшего был вдвое меньше,
чем нынешний возраст старшего. Поэтому
х=2*(2у-х), или 3х=4у.
С другой стороны, когда младшему будет х лет, т. е. через (х-у) лет, сумма
возрастов составит 63 года, следовательно,
х+(х-у)+х=63, или 3х=у+63.
Из полученных равенств следует, что 4у=у+63 и у=21. Но тогда х=28. Старшему из
беседующих 28 лет, младшему 21 год.

Задача № 11
Условие
Замысловатый ответ.
У отца спросили,
сколько лет его двум сыновьям. Отец ответил,
что если к произведению чисел, означающих их
года, прибавить сумму этих чисел, то будет 14.
Сколько лет сыновьям?
Решение
Пусть одному сыну х лет, а другому y лет. Тогда
из условия задачи имеем
хy+х+y=14,
откуда
y=14-х/х+1=15/х+1-1.
Поскольку у-натуральное число, а 15=5*3*1, то: 1)
либо х+1=5; 2) либо х+1=3; 3) либо х+1=1
В случае 1) х=4, тогда у=2; в случае 2) х=2, тогда у=4; в
случае 3) х=0, чего не может быть, так как хнатуральное число. Следовательно, одному сыну
2 года, а другому 4 года.

Фигурные числа
Задача № 12
Условие
Пирамида из ядер. Пушечные ядра,
приготовленные для стрельбы, сложены в виде
треугольной пирамиды. Ядра, образующие первый
слой, составляют правильный треугольник, на
стороне которого лежит n ядер. Ядра второго
слоя положены в выемки, образованные ядрами
первого слоя. Точно также образуются и
последующие слои. Последний слой состоит из
одного ядра. Сколько ядер в этой пирамиде?
Решение
Количество ядер, лежащих в первом слое, равно
треугольному числу с номером n, во втором слоетреугольному числу с номером n-1 и т. д. В
последнем слое с номером n лежит одно ядро, и
первое треугольное число также равно 1. Значит
количество ядер в пирамиде равно сумме первых
n треугольных чисел, т. е. Сумме чисел вида
(k2+k)/2,k=1, 2, …, n.
Для того, чтобы найти сумму, составим
тождество
(k2+k)/2=(k3+3k2+2k)/6-((k-1)3+3(k-1)2+2(k-1))/6.
Подставляя в него последовательно
k=1,2,3,…,n, получим равенства
1=1-0
3=4-1
6=10-4
10=20-10
………….
2
3
2
(n +n)/2=(n +3n +2n)/6-((n-1)3+3(n-1)2+2(n-1))/6.
Сложим теперь почленно левые и правые
части написанных равенств. Слева
получится сумма всех треугольных чисел от
первого до n-го, т. е. количество ядер в
пирамиде. При сложении же выражений в
правой части уничтожаются все слагаемые,
кроме (n3+3n2+2n)/6. Следовательно пирамида
сложена из
(n3+3n2+2n)/6=(n(n+1)(n+2))/6 ядер.

Выводы
Выполняя эту работу, я изучила много
дополнительной литературы:
исторические справочники, задачники,
энциклопедии. Проделанная работа дала мне
представление о практике решения задач в
старые времена, доставила мне огромное
удовольствие и расширила мой кругозор.
Решенные задачи могут быть использованы для
внеклассной работы по математике. Они будут
интересны не только школьникам, но и людям,
увлекающимся математикой.

Введение
История с. Лермонтово
Образование М.Ю. Лермонтова
Учебник математики Магницкого – решение задач

б) Тройное правило

г)Задачи на смешении

Из истории использования текстовых задач в России

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задачам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен.

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Мы попытаемся найти связь времен: сравнить образование, получаемое в XIX в. и а наше время, математику XIX в. и XX в.. Для этого обратимся к имени нашего земляка, великого русского поэта М.Ю. Лермонтова.

И так как мы будем решать задачи из этого учебника, хотелось рассказать о нашем селе того времени в котором прошли детские и юношеские годы поэта.

Полученные в 1701 г. владельцами земли долгие годы продолжали оставаться незаселенными. Лишь в 1729-35 годах дочь Михаила Аргамакова Анна, вышедшая замуж за князя Якова Петровича Долгорукова, стали скупать еще не освоенные земли. В 1735г. из костромского села Писцево, купленного Яковом Петровичем у своего брата, была переселена основная часть крепостных на берега речки Марарайки во вновь образованное село супругов

Я.П. и А.М. Долгоруковых.

Новое село получило название по фамилии владельцев - Долгоруково. Но в Пензенском уезде были уже 2 села с таким названием. Вероятно, поэтому в официальных документах село было записано как Яковлевское, по имени владельца.

В 1750г. в Яковлевском была построена небольшая церковь Николая Чудотворца. После этого село получило новое название Никольское, Яковлевское. А в 1762 г. А.М. Долгорукова продала свои земли имения за 8 тыс. руб. Настасье Александровне Нарышкиной. От Н.А. Нарышкиной, по завещанию, Никольское, Яковлевское перешло ее внучкам. В конце 18 в. село и барская усадьба, располагавшаяся со времен Долгоруковых, на том месте Е.А. Арсеньева впоследствии построила церковь Михаила Архангела, сгорели. Имение стало убыточным, и в 1794 г. было продано Е.А. Арсеньевой.

13 ноября 1794 г. Приобретенные Е.А. Арсеньевой земли еще в сентябре

1782 г. были обмежеваны. В экономических примечаниях к плану обмежеванной дачи было записано:

«число дворов - 114

душ мужска - 431

Тарханами Е.А. Арсеньева владела целых 50 лет. При этом она была в истории села единственной помещицей, которая жила здесь дома. До Арсеньевой село было заглазным. После нее - тоже. Купив село и предвидя огромное по тем временам строительство, Арсеньева перевела своих крестьян с оброка на барщину.

В 1845 году после смерти Арсеньевой имение перешло к Афанасию Алексеевичу Столыпину. Но жил он в своем имении Лесная Ниловка. После его смерти имение перешло в наследство его сыну Алексею Афанасьевичу, а затем в 1906 (начало 1907г) Катковой М.В., внучке Афанасия Алексеевича. Все это село оставалось заглазным, а имением управлял управляющий.

После февральской революции последний управляющий тайно уехал из имения. Все хозяйство осталось без присмотра. В этом же месяце, т.е. феврале 1917 года, село Тарханы было переименовано в честь поэта в село Лермонтово.

В этом селе прошли детские годы М.Ю. Лермонтова

Воспитывала Мишеньку после смерти матери его бабушка Елизавета Алексеевна Арсеньева. Она была женщина очень умная и старалась дать внуку прекрасное образование. Елизавета Алексеевна наняла педагогов, которые учили ее внука и его друзей игре на фортепиано, географии, французскому и немецкому языкам.

В классной комнате дома - музея представлены типичные учебники, атласы, карты того времени: учебники русского, французского и немецкого языков "Зрелища вселенныя" 1793 г., "Ручная математическая энциклопедия" 1826 г это издания, по которым учился Лермонтов.

"Лермонтов учился прилежно, имел особенную способность и охоту к рисованию, но не любил сидеть за уроками музыки", - рассказывает его двоюродный брат М.А. Погожин - Отрошкевич. Миша учился прекрасно, вел себя благородно, особенные успехи оказывал в русской словесности.

В 1827 году он вместе с бабушкой переезжает в Москву. Надо было в течение года пройти программу трех первых классов Московского университетского благородного пансиона.

Осенью 1828 года он поступил в 4 класс Московского университетского благородного пансиона, выдержав экзамены по русскому, немецкому и французскому языкам, древней и всеобщей географии, арифметике и началам алгебры.

Учебный курс в пансионате был общеобразовательным, но значительно превышал уровень

Учился Лермонтов блестяще, отличался не только в гуманитарных науках, словесностях и искусствах (он играл на скрипке, рисовал), но и в математике. При переходе из класса в класс он неизменно получал награды. Ему повезло и с учителями. Среди пансионских преподавателей были даровитые люди. Один из них Дмитрий Матвеевич Перевощиков - математик и астроном. В его классе Миша был одним из четырех сильнейших учеников.

В 30-е годы правительственным указом пансион был преобразован в гимназию с введением телесных наказаний. Лермонтов подал заявление об уходе.

Осень. 1830 года Лермонтов стал студентом Московского университета. Он начал посещать лекции лишь 12 января. 1831 года, т.к. занятий, по случаю холеры, не было до начала нового года.

В 30 - 31 годы с Лермонтовым произошел интересный случай, о котором рассказал Александр Лопухин в письме к начальнику Николаевского кавалерийского училища Бильдермингу:

"Лермонтов вообще, а в молодости в особенности, постоянно искал новой деятельности, как говорил, не мог остановиться на той, которая должна бы его поглотить всецело, и потому, часто меняя занятия он, попадая на новое, всегда с полным увлечением предавался ему. И вот в один из таких периодов, когда он занимался исключительно математикой, он однажды до поздней ночи работал над разрешением какой-то задачи, которое ему не удавалось, и, утомленный, заснул над ней. Тогда ему приснился человек, изображенный на прилагаемом полотне, который помог ему разрешить задачу. Лермонтов проснулся, изложил разрешение на доске и под свежим впечатлением мелом и углем нарисовал портрет, приснившегося ему человека на штукатурной стене его комнаты". Лермонтов стал уверять, что это был не кто иной, как его предок Лерма.

Когда вокруг этого портрета хотели сделать рамку, рисунок развалился. Но Лермонтов успокоил: "Ничего, мне эта рожа в голову врезалась, что я намалюю ее на полотне", - что и исполнил.

Университетская учеба Лермонтову как-то не задалась. С одной стороны, ему не нравились некоторые профессора, а с другой - поэзия поглощала все его время. Он пропускал много лекций, а в мае 1832 г. не явился на годичный экзамен. В следующем месяце Лермонтов был по его прошению из университета уволен.

Попытка поступить осенью в Петербургский университет не удался: Лермонтову не зачли курс прослушанного в Московском университете. Он решил пойти в Школу гвардейских подпрапорщиков и кавалерийских юнкеров.

После успешно сданного экзамена, который состоялся 22 ноября 1834 года, Лермонтов был выпущен корнетом в лейб-гвардии Гусарский полк. В июне 1840 г. в Чеченский отряд, где командиром был Константин Христофорович Мамацев, прибыл М.Ю. Лермонтов, высланный из Петербурга за дуэль с Барантом. Мамацев вспоминал, что Лермонтов имел склонности и к музыке, и к живописи, но рисовал одни карикатуры, и если чем интересовался, так это шахматною игрою, которой предавался с увлечением. Он искал, однако, сильных игроков. И очень часто устраивались состязания между ним и молодым поручиком Москалевым. Последний действительно был отличный игрок, но ему только в редких случаях удавалось выиграть партию у Лермонтова.

Многие его задачи пользуются большой популярностью в школьном курсе математики. Рассмотрим некоторые из эти задач.

Задача 1. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов".

Запишем условие задачи

Количество ног - 94

Количество голов – 35

Пусть в клетке было х фазанов, тогда кроликов было (35-х) голов. У фазанов было 2х ног, а у кроликов 4(35-х) ног. Так как всего было 35 ног, то получим уравнение: 2х+ 4(35-х) = 94

Решение (Сл 10)

2х + 140 – 4х = 94

2х – 4х = 94 - 140

35 – 23 = 12 ( кроликов)

Ответ: фазанов – 23, кроликов - 12

. Диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос):

— Дети, представим, что наверх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько же кроликов?

Рассмотрим некоторые способы решения старинных

Метод ложного положения

Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей "Арифметики", трактующей этот вопрос "О правилах фальшивых или гадательных".

В русской учебной литературе "фальшивое правило" имеется во всех руководствах ХVIIIв. и в значительной части учебников XIX в.

"Через второе фальшивое правило" 792:22=36 Толико бяше в том училище учеников.

В первом столбце подсчитывается, что при первом предположении (учеников было 24), мы получили всего 67, меньшее чем 100 на 33. Во втором столбце таким же образом находится, что при втором предположении, что учеников было 32, получается 89, меньше на 11.

Л.Ф.Магницкий пишет: "Через второе фальшивое правило", т.е. имеем тот случай, когда оба положения дали "меньше". В середине он выписывает оба положения и оба отклонения. Тут же крестом указывает, какое число на какое надо умножить и выполняется умножение 32*33=1056 и 24*11=264, 1056-264=792 и указывается, что по "второму фальшивому правилу" надо найти разность отклонений 33-11=22 и способом вычерчивания выполняется деление 792:22=36. "Толико бяше в том училище учеников".
По "методу весов" решение располагалось бы так. Даем три решения при следующих положениях:

Правило решения можно записать так: "Возьми для неизвестного числа, какое ты хочешь, назови его " первое положение " и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное, но если оно отклоняется в ту или другую сторону, назови разницу первым отклонением . Тогда возьми другое число и назови вторым положением ; если оно не удовлетворяет условию, то даст второе отклонение . После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови произведение первым результатом; затем второе положение умножай на первое отклонение и это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и тоже время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонении ; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений ; частное и есть искомое число.

Старинные русские меры сменились в России в начале XX века метрической системой. Преимущество последней мывидим при решении задач определенного типа – это решение задач с помощью уравнений.

Тройное правило.

Устанавливается правило письма данных в задачах, и после этого решение задач сводится к механическим умножениям и делениям.

У старых авторов и Л.Ф. Магницкого это правило называется строкой, т.к для механизации вычислении данные писались в строку. Для величин прямо пропорциональных следовало писать данные в одном порядке, для величин обратно пропорциональных — в другом (правило называлось тройным, т.к. в строку записывались три известных числа из условия задачи).

1) За 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля? 2 - 6 - 4. Перемножая второе и третье числа и деля произведение на первое, получаем ответ (6*4:2= 12 (пр.)).

2) 20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней? 5 — 20 — 30 Снова умножаем второе число на третье и делим произведение на первое число 20*30:5= 120 (р)

Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных задачи. Поэтому Л.Ф. Магницкий в конце раздела говорит:

А смотри всех паче

Разума в задаче,

Потому бо знати,

Задачи на смешение

Старинный способ решения задач на смешение двух веществ позволяют получить правильный ответ.

Кто не страдал бессонницей, тот не знает своей биографии. Дон-Аминадо
ещё >>

В первых лекциях мы остановимся на истории использования текстовых задач в России и за рубежом, на роли текстовых задач и арифметических способов их решения в процессе обучения математике в школе, на их влиянии на развитие общеучебных умений школьников; обсудим желательную последовательность предъявления школьникам типовых задач и определим наиболее естественное место появления уравнений в процессе обучения.

Из истории использования текстовых задач в России

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regula aurea (т. е. магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все.

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:

Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

фунты гульдены фунты

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится и будет стоимостью 29 фунтов [1, с. 11].

«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое… понеже пять перечней [чисел — А. Ш.] в правиле поставляется, а шестый изобретается…: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:

О возможности использования задач такого рода в процессе обучения разговор еще впереди, а пока получим верный ответ, следуя правилу: (7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Здесь очень уместен вопрос: так ли были глупы китайцы, дававшие во II в. следующую задачу?

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт утки и гуся, ни проконтролировать момент их встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение к практике полученного результата, а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка?

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

1) 15 . 2/(2 + 3) = 6, 2) 15 – 6 = 9.

Наш опыт показывает, что учащиеся, обученные находить арифметически два числа по их сумме и разности или два числа по их отношению и сумме (или разности), с большим трудом переходят к решению тех же задач с помощью уравнения. Они не видят никакого выигрыша, какой доставлял бы им новый способ решения.

Некий человек нанял работника на год, обещал ему дать 12 р. и кафтан. Но тот, отработав 7 месяцев, захотел уйти и просил достойной платы с кафтаном. Хозяин дал ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан. Спрашивается, а какой цены тот кафтан был?

Алгебраическое решение задачи приводит к уравнению 7 . (x + 12):12 = x + 5, где x р. — стоимость кафтана. Ученица 6 класса Аня А. предложила вычислять стоимость одного месяца проще: работник не получил 12 – 5 = 7 (р.) за 12 – 7 = 5 (месяцев), поэтому за один месяц ему платили 7:5 = 1,4 (р.), а за 7 месяцев он получил 7×1,4 = 9,8 (р.), тогда кафтан стоил 9,8 – 5 = 4,8 (р.).

Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческом контексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал детей. Кроме того, разнообразные способы решения будят их фантазию, позволяют организовывать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. Возьмем старинную китайскую задачу:

В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

где x — число кроликов, и получить ответ задачи.

Но если мы обучаем детей не только с целью получения ответа, если нам небезразличны эмоциональный фон обучения, развитие фантазии детей и их способности рассуждать, то, может быть, с ними полезно провести диалог, найденный нами у старых мастеров методики математики и вызывающий у детей живейшее участие в решении задачи (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос).

— Дети, представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

— Сколько же кроликов?

Мама раздала детям по четыре конфеты, и три конфеты остались лишними. А чтобы дать детям по пять конфет, двух конфет не хватает. Сколько было детей?

Здесь тоже можно использовать уравнение, а можно, желая развивать способности детей рассуждать, провести такой диалог.

— Представим, что мама раздала детям по четыре конфеты. Сколько конфет у нее осталось?

— Если она продолжит раздавать конфеты, то по сколько конфет она даст каждому?

— По одной (5 – 4 = 1).

— Скольким детям хватит еще по одной конфете?

— А скольким не хватит?

— Сколько же было детей?

Такое упрощенное понимание роли и места задач в школьной математике (добавим сюда еще веру во влияние фабулы задач на воспитание учащихся) преобладало долгие годы. У этого подхода и теперь много сторонников — у нас в России и за рубежом. К их аргументам и задачам мы еще вернемся во второй лекции.

Насколько противоестественным для процесса обучения и развития детей оказалось раннее использование уравнений, можно судить даже по методической аранжировке самых обычных задач. Вот две задачи, взятые из книг для учителей начальной школы.

Было несколько яблок, 4 яблока съели, 3 осталось, сколько было яблок?

Решая ее, мы составили такое уравнение: x = 4 + 3 [5, с. 112].

Как записать условие этой задачи с помощью буквы x и как найти число x? [9, с. 13]

В корзине было несколько грибов. После того, как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине? [10, с. 70]

Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа противоестественно и не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними. Более того, такая методика искусственно разделяет прямые и обратные арифметические операции: учащихся учат применять сложение и умножение, действуя непосредственно с известными величинами или составляя уравнения, а обратные операции — при решении этих уравнений.

В той же статье А.Л. Тоом приводит задачу, которая «может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений:

Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас?

У одного человека в кошельке 20 монет, одни по 5 центов, другие по 10 центов на общую сумму в доллар и 75 центов. Сколько у него монет по 5 центов? Сколько по 10 центов?

Самолёт взлетает и направляется на восток со скоростью 350 миль в час. В то же время взлетает другой самолёт и направляется на запад со скоростью 400 миль в час. Когда расстояние между ними достигнет 2000 миль?

Далее А.Л. Тоом приводит задачу, которую специалисты считают пригодной для обучения:

Игрок ударил бейсбольный мяч, когда он был в 3 футах от земли. Мяч прошёл на 4 фута выше другого игрока 6 футов ростом, находящегося в 60 футах от первого. Затем мяч был пойман третьим игроком на расстоянии 300 футов, в 5 футах над землёй. На каком расстоянии от первого игрока мяч достиг максимальной высоты, и какова эта максимальная высота?

К каким же результатам приводит работа с текстовыми задачами в зарубежной школе? Дискуссии специалистов, которых мы кратко коснулись, и сведения о том, что большинство студентов первых курсов американских университетов не умеет решать простейшие задачи в несколько действий, многочисленные примеры из статей А.Л. Тоома (и других источников) говорят об одном: в зарубежной массовой школе никогда не было того опыта использования текстовых задач в процессе обучения, какой был когда-то в России. Опыт обучения решению текстовых задач в зарубежных странах просто иной.

Вот пример использования текстовых задач во Франции. Правда, обсуждаемая здесь задача требует для своего решения привлечения геометрических фактов, но интересно отношение преподавателей университета (!) к возможности включения такого типа задач в контрольную работу.

«В этом учебном году на семестровой контрольной одной из задач была такая.

Воздушный шар летит в одном направлении со скоростью 20 км/час в течение 1 ч и 45 мин. Затем направление движения меняется на заданный угол (60°), и воздушный шар летит еще 1 ч и 45 мин с той же скоростью. Найти расстояние от точки старта до точки приземления.

Правило 1. Насколько возможно, избегай читать условие задачи. Чтение условия только отнимает время и запутывает.

Правило 2. Выпиши все числа из условия в том порядке, в каком они там даны. Не забудь о числах, написанных словами.

Правило 3. Если правило 2 дало тебе три числа или больше, то лучше всего сложить их все.

Правило 4. Если чисел только два, и они примерно одной величины, то лучше всего вычесть одно из другого.

Правило 5. Если чисел только два и одно много меньше другого, то попробуй разделить, а если не разделится, то перемножь.

Правило 6. Если у задачи такой вид, как будто надо применить формулу, выбери формулу с достаточным числом переменных, чтобы использовать все данные.

Правило 7. Если с правилами 1-6 ничего хорошего не получается, сделай последнюю отчаянную попытку. Возьми все числа, полученные с помощью правила 2, и заполни страницы две всевозможными операциями с ними. Затем обведи кружком пять-шесть полученных чисел на каждой странице на случай, если какое-нибудь из них окажется ответом. Может и получишь что-нибудь за то, что старался.

Завершая первую лекцию, сформулируем несколько положений, к аргументации которых мы еще вернемся при освещении методики работы с соответствующим задачным материалом.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.
Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.
Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.
Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Вопросы и задания

1) Укажите пять наиболее важных, на ваш взгляд, аргументов в пользу применения арифметических способов решения текстовых задач в процессе обучения арифметике в начальной школе и в 5-6 классах.

2) Считаете ли вы необходимым в начале 5 класса решать с детьми задачи по программе начальной школы? Почему?

3) Какие общеучебные умения позволяет развивать работа с текстовыми задачами?

4) Если использовать арифметические способы решения задач в процессе обучения, то необходимо предъявлять их учащимся в определенном порядке. Установите такой порядок, расставив номера предложенных ниже типовых задач на:

o все действия с натуральными числами ___

o пропорции ___

o нахождение части числа и числа по его части ___

o нахождение двух чисел по их кратному отношению и разности (задачи на части) ___

o нахождение двух чисел по их кратному отношению и сумме (задачи на части) ___

o нахождение двух чисел по их сумме и разности ___

o движение (одного пешехода, велосипедиста и т.п.) ___

o движение (двух пешеходов и т.п.) ___

o движение по реке ___

o все действия с дробями ___

o смеси и сплавы ___

o совместную работу ___

Сравните выбранный вами порядок включения задач в учебный процесс с тем порядком, который будет предложен в следующих лекциях.

Читайте также: