История развития стереометрии кратко
Обновлено: 02.07.2024
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.
Начальные понятия стереометрии
«Математика- это алфавит, которым
Стереометрия, или геометрия в пространстве – раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства различных прострвнственных фигур.
Возникновение и развитие стереометрии, как и планиметрии, обусловлено потребностью практической деятельности человека.О зарождении геометрии в древнем Египте около двух тысяч лет до н.э. писал древнегреческий учёный Геродот (5 в. До н.э.) (на слайде портрет Геродота).При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо было рассчитать сколько материала пойдёт на постройку, уметь вычислять расстояние между точками в пространстве и углы между прямыми и плоскостями, знать свойства простейших геометрических фигур. Так,египетские пирамиды, сооружённые за 2-4 тысячелетия до н.э., поражают точностью своих метрических соотношений, свидетельствующих, что строители уже знали многие стереометрические положения и расчёты.(на слайде строительство пирамид)
Это изображение верно с точки зрения стереометрии,
но ненаглядно и неудобно.
В 1 Это изображение верно и наглядно
Рассмотрим такую ситуацию : прямая АВ пересекает плоскость α в точке А.На этих рисунках совершенно правильно изображено взаимное положение прямой АВ и плоскости α ,но полезен и удобен только рисунок Б) (изображение на слайде)
Например, графическая работа № 1
Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения.
1.Прямая МР лежит в плоскости α
2.Прямая МР пересекает плоскость α в точке М
3.Плоскость α проходит через прямую а и точку М. не принадлежащую прямой а. и пересекает прямую в точке М
4.Прямые МС и МВ пеесекают плоскость β в одной и той же точке.
5.Прямые МС и МВ пересекают плоскость γ в разных точках.
6.Прямые а и в, изображённые на рисунке параллельными, на самом деле не параллельны.
7.Прямые а и в . изображённые на рисунке пересекающимися, на самом деле не имеют общих точек.
8.Плоскости α и β имеют общую прямую а и пересекают прямую КМ соответственно в точках К и М.
9.Плоскости α и β пересекаются по прямой С, а плоскости α и γ пересекаются по той же прямой С
10.Плоскости α и β пересекаются по другой прямой – прямой МТ
11.Прямые а,в, и с имеют общую точку О лежат в одной плоскости
12.Прямые а,в, и с имеют общую точку О, но не существует плоскости в которой лежат все эти три прямые.
13.Плоскости α, β и γ имеют единственную принадлежность всем трём плоскостям точку О
14.Прямые АВ и МТ таковы, что точка А не принадлежит плоскости ВМТ, а точка В не принадлежит прямой МТ.
15.На прямой а . пересекающей плоскость α в точке А, выбраны по разные стороны от А точки М и Т.Прямые ММ 1 и ТТ 1 параллельные между собой и пересекают плоскость α соответственно в точках М 1 и Т 1.
16.Две вершины треугольника АВС лежат в плоскости α, а вершина С не лежит в плоскости α.прямая α пересекает стороны СВ и СА соответственно в точках М и Т, а плоскость α в точке К
В 7-9-х классах на уроках алгебры и в учебниках проблема пространственного воображения считается чужой, а в курсе геометрии всё внимание сосредотачивается на двухмерных объектах и учащимся не предоставляется возможность работать с пространственными объектами, развивая своё воображение, на первых же уроках стереометрии мы сталкиваемся с проблемами: пространственное мышление учеников не развито; они не умеют читать изображения пространственных тел, не умеют их изображать. Благоприятное время для начала развития пространственного мышления это 5-6 классы средней школы. Поэтому, хоть и медленно, на уроки математики в этих классах проникают специальные упражнения , направленные на его развитие. Затем в 7-9-х классах эта проблема забывается и всплывает (по необходимости) в 10-м классе, поскольку явно даёт о себе знать.В 7-9 –х классах можно выполнять упражнения, которые направлены на формирование у учащихся умений читать изображение пространственных фигур, приучают их вносить мысленные изменения в восприятие, подготавливают к обучению в 10-м классе. Например: (рисунки на слайдах).
1.На приведённых рисунках помещён прямоугольный треугольник.Так как прямоугольник включен в изображение пространственной фигуры (прямоугольного параллелепипеда), то прямой угол воспринимается самым разным образом, проверьте свои впечатления от восприятия.какой угол треугольника воспринимается прямым и в каком случае.(Математика № 14, 2002 г. стр.9)рис.1
2.На рисунках прямоугольного параллелепипеда помещён прямоугольный треугольник.Проверьте свои впечатления от его восприятия(рис.2)
3.Поверхность столешницы разбита на разные квадраты.На ней изображены треугольники и четырёхугольники с вершинами в вершинах квадратов (рис.4)найдите равнобедренные треугольники,прямоугольные треугольники.Найдите четырёхугольники, имеющие две равные стороны; имеющие две параллельные противоположные стороны; имеющие прямые углы.
4.Покажите, что изображённые четырёхугольники являются параллелограммами (рис.6.4).Найдите площадь каждого параллелограмма.
5.Покажите,что изображённые четырёхугольники являются трапециями.Есть ли среди них равнобокие?Сможете ли вы найти их площади? рис.6.5.)
6.Рассмотрите изображения окружностей и взаимно перпендикулярных диаметров на изображении окружности (эллипсе) постройте изображение двух произвольных перпендикулярных диаметров(рис.6.6)
7.На каждом из следующих рисунков(рис.7) дано изображение окружности,вписанной в квадрат, разбитый на равные квадраты.В окружность вписан треугольник, вершинами которого являются точки пересечения окружности с линиями разбиения, которые легко усматриваются из рисунка (рис.7).Вычислите стороны треугольников любым способом.
При переходе к изучению стереометрии у учащися нередко возникают большие затруднения и особенно при решении задач по первым разделам стереометрии.чтобы помочь ученикам преодолеть эти затруднения, целесообразно показать им некоторые общие подходы при решении определённого класса задач.одним из приёмов при доказательстве ряда теорем, решении многих задач, например следующих: (на слайде)
1.Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны между собой.
2.Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и вторую.
3.Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и второй,применяют приём проведения вспомогательной плоскости, пересекающей данную плоскость и использование линии пересечения этих плоскостей.
После решения нескольких подобных задач учащиеся могут обобщать план решения задач на доказательство, связанных со взаимным положением прямых и плоскостей и решаемых с использованием приёма проведения вспомогательных плоскостей в сочетании с методом от противного (на слайде)
1)Предположить противное тому, что требуется доказать.
2)Провести вспомогательные плоскости(одну или несколько) так, чтобы они пересекали данные плоскости.
3)Доказать, что вспомогательная плоскость пересекает данные, рассмотреть их линии пересечения.
4)Составить и решить цепочку простых задач, в условия которых входят линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей и последовательное решение которых может привести к противоречию или с условием, или с известной теоремой, или аксиомой.
5)Сделать вывод о неверности предположения и верности утверждения, сформулированного в требовании задачи
Очевидно, что одна и та же задача на доказательство взаимного положения прямых и плоскостей может быть решение разными способами.Поэтому можно дать указание, помогающие выбрать тот или иной из них.
1)Попробуйте свести исходящую задачу к цепочке простых подзадач, начиная от условия.В случаях затруднения можно начать от требования задачи.
2)Если не удалось решить задачу, попробуйте применить метод от противного.
3)При очередной неудаче попробуйте провести вспомогательные плоскости (одну или несколько) пересекающие данные плоскости.Сформулируйте подзадачу к которой сводится решение исходной задачи,так, чтобы в её условие вошли линии пересечения данных и вспомогательных плоскостей.решать её можно в сочетании с методом от противного или без его применения.
4)Решив задачу, попытайтесь найти другие способы её решения.
Например: задача №32 (Л. Н. Атанасян)
Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ.Прямая а параллельна как плоскости α так и плоскости β.Докажите, что прямые а и АВ параллельны.
(на экране) Один из способов решения этой задачи:
Использование сочетания рассматриваемого
В β приёма и приёма проведения
Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ.Прямая а параллельна как
плоскости α так и плоскости β.Проведём вспомогательную плоскостьγ через прямую а и точку М взятую на АВ.Плоскость γ пересечёт каждую из плоскостей α и β то прямым А 1 В 1 и А 2 В 2 соответственно.Нетрудно доказать, что каждая из прямых А 1 В 1 и А 2 В 2 параллельна прямой а, в то же время обе проходят через точку М, следовательно А 1 В 1 и А 2 В 2 совпадают.Таким образом, имеется прямая параллельная прямой а.указанная прямая совпадает с прямой АВ (т.к. является линией пересечения плоскостей).Следовательно АВ параллельна а.
Очень часто мы используем рёберную модель куба. Эта модель очень удачная, в ней заключены все начала стереометрии.
1. Атанасян Л.Н .Геометрия 7-9 –М:Просвещение,2006 год
2.Математика, приложение к газете 1 сентября №14,2002 год.
3.Математика, приложение к газете 1 сентября №16,2003 год.
3.Шлыков В.В. ,.Зезетко Л.Е.. Практические занятия по геометрии.10 класс-Минск:ТетраСистемс,2004год.
Математика во все века привлекала к себе внимание не только ученых и архитекторов, но и художников, музыкантов. На этом уроке мы окунемся в историю развития геометрии в целом и стереометрии в частности. Рассмотрим основные понятия, которые изучает стереометрия.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Предмет стереометрии"
В курсе геометрии базовой школы, мы с вами в основном знакомились с плоскими фигурами, напомню, что раздел геометрии, который занимается изучением свойств плоских фигур называется планиметрия. Основными фигурами планиметрии являются точка и прямая. У плоских фигур есть только два измерения: длина и ширина, эти измерения используются для нахождения площади фигур.
Но мы уже знаем, что есть такой раздел геометрии, который занимается изучением объемных фигур, он называется стереометрия.
Напомним, что если в планиметрии мы говорили о квадрате, то в стереометрии мы будем говорить о кубе, который состоит из квадратов.
Если в планиметрии мы говорили о прямоугольном треугольнике, то в стереометрии из треугольника, вращая его вокруг одного из катетов, мы получим конус.
С некоторыми фигурами стереометрии мы уже знакомы: это призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.
В курсе геометрии десятого и одиннадцатого классов, мы будем работать именно со стереометрией, то есть изучать свойства фигур в пространстве.
На прежде чем приступить к изучению стереометрии, давайте, еще раз вспомним как все начиналось.
Точки, как и в планиметрии обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита.
Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Для обозначения плоскости используются строчные буквы греческого алфавита.
Наряду с этими понятиями в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. У геометрических тел три измерения: длина, ширина и высота. Эти измерения позволяют вычислить объем фигуры, то есть геометрические тело обладают вместимостью. Практически каждый окружающий нас предмет можно представить в виде геометрических тел.
Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась вместе с человеком. Геометрия была очень нужна строителям, которые возводили на реках дамбы, перекидывали с одного берега на другой мосты, виадуки, создавали многоэтажные здания и величественные храмы.
Ярким примером этого являются египетские пирамиды, сооруженные за два четыре тысячелетия до нашей эры. До сих пор эти пирамиды поражают точностью своих метрических соотношений.
Считается, что геометрия появилась в древнем Египте около 2000 лет до нашей эры.
Сначала геометрия была интуитивной. То есть факты признавались существующими и никак не доказывались. Но в 600 году до нашей эры греческий ученый Фалес выдвинул и развил идею о том, что должны быть пути, доказывающие справедливость тех или иных фактов. В геометрии факты называются теоремами. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого.
Начиная с VIIвека до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии.
Одной из самых первых и самых известных геометрических школ была пифагорейская, она существовала в VI-V веках до нашей эры. Названа она была в честь своего основателя древнегреческого ученого Пифагора.
Пифагорейцы использовали правильные многогранники для философских теорий. Так огню они придавали форму тетраэдра (пирамиды), земле – форму гексаэдра (куба), воздуху – форму октаэдра (фигуры, которая образована восьмью равносторонними треугольниками), воде – форму икосаэдра (фигуры, которая образована двадцатью равносторонними треугольниками).
По их мнению, вся вселенная имеет форму додекаэдра (фигуры, которая состоит из двенадцати правильных пятиугольников).
Еще одной известной школой, которая занималась вопросами геометрии, является Александрийская философская школа. Выходцем этой школы был знаменитый ученый Евклид, который жил около 300 года до нашей эры.
Он сформулировал пять постулатов:
1. Через две точки можно провести прямую.
2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2-х прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше 2-х прямых.
В девятнадцатом веке в геометрии появились новые методы, которые позволили переводить геометрические задачи на язык алгебры и наоборот. Возникли и развиваются новые направления геометрических исследований: геометрия Лобачевского, проективная геометрия, топология, компьютерная геометрия и так далее.
Но математикой в целом и геометрией в частности интересовались не только ученые. Существует так называемое математическое искусство Эшера.
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.
Вернемся к геометрическим телам. Геометрические тела, как и все геометрические фигуры являются воображаемыми объектами.
Геометрическое тело – часть пространства, отделенное от остальной части пространства границей этого тела.
Все геометрические тела делятся на два больших класса: тела вращения (из названия понятно, что к ним относятся тела, которые получаются вращением плоских фигур вокруг одного из своего элемента) к ним относятся шар (получается вращением полукруга вокруг диаметра), цилиндр (получается вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон), конус (получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов).
Ко второй группе геометрических тел, относятся многогранники – тела, ограниченные конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.
Многогранники в свою очередь делятся на призмы (это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы), пирамиды (многогранник, составленный из n угольника А1А2 и так далее Аn и n треугольников). С некоторыми видами многогранниками, мы с вами уже встречались, с остальными познакомимся в этом году.
Напомним, что многогранники бывают выпуклыми (то есть многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани). Мы помним, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
И невыпуклыми, когда многогранник лежит по разные стороны хотя бы от одной плоскости, проходящей через грань.
Давайте повторим основные элементы фигур, с которыми мы уже знакомы.
Начнем с тел вращения. У цилиндра есть ось, высота, основания цилиндра, радиус цилиндра, боковая или цилиндрическая поверхность, образующая.
У конуса также есть ось, высота, основание, радиус, коническая или боковая поверхность, образующая.
У шара или сферы (напомним, что сфера – оболочка шара, по аналогии с окружностью и кругом в планиметрии) есть центр, радиус, хорда, диаметр.
Теперь рассмотрим многогранники.
Призма имеет два основания, боковые грани, боковые ребра, у призмы есть диагональ – отрезок соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
У пирамиды, в отличии от призмы – одно основание, есть боковые грани, вершина, боковые ребра, высота.
Данная презентация знакомит с историей возникновения и развития Стереометррии, с основными фигурами стереометрии. Показывает применение стереометрии в архитектуре, природе( пчелиные соты, движение небесных тел, форма ягод, икринок), химии(формула метана), технике( клавиатура). Стереометрия в заданиях ЕГЭ. Цель работы: расширить знания учащихся по данной теме.Научиться применять эти знания на практике при решении задач.Исследовательская работа ученицы 10 кл. Руководитель проекта: учитель математики Неугасимова Надежда Михайловна. Данная работа получила диплом 1 степении на школьной НПК
Цели работы: Расширить свои знания по данной теме
Расширить свои знания по данной теме.
Научиться применять эти знания на практике, при решении задач.
Задачи: Познакомиться с историей возникновения и развития стереометрии
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения и развития стереометрии.
Узнать об основных фигурах стереометрии.
Познакомиться с задачами по данной теме в кимах ЕГЭ.
Стереометрия — раздел геометрии , в котором изучаются свойства фигур в пространстве, в противоположность планиметрии , где рассматриваются фигуры, лежащие в плоскости
История возникновения и развития стереометрии
История возникновения и развития стереометрии
Презентация по математике на тему "Стереометрия вокруг нас"
огонь вода воздух земля вселенная тетраэдр икосаэдр октаэдр гексаэдр додекаэдр Философия Платона
Среди всех многогранников красивые формы имеют правильные многогранники: гексаэдр октаэдр додекаэдр
Среди всех многогранников красивые формы имеют правильные многогранники:
Этим и объясняется интерес человека к многогранникам.
Фигуры стереометрии Призма
Призма —многогранник, две грани которого — основания призмы — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а другие грани — боковые грани призмы —пересекаются по параллельным…
Оптическая призма Оптическая призма — призматическое тело из прозрачного вещества
Оптическая призма — призматическое тело из прозрачного вещества. Служит для разложения сложного света в спектр в спектральных аппаратах, для изменения направления хода световых лучей в различных оптических приборах (телескопы, бинокли, микроскопы и др.) и для других целей.
Оптическая призма
Пчелиные соты Пчелы строят восковые соты для хранения кормовых запасов и для выращивания потомства
Пчелы строят восковые соты для хранения кормовых запасов и для выращивания потомства. Состоят соты из ячеек, которые имеют форму шестигранной призмы. Математики считают, что именно такая форма оптимальна для максимального использования площади для хранения мёда при наименьшем расходе строительного материала (воска).
Презентация по математике на тему "Стереометрия вокруг нас"
Пирамида
Пирамида — многогранник, основание которого представляет многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III тысячелетии до н. э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники и др. При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.
перечисляются исходные понятия, которые принимаются без определения;
приводится список аксиом;
при помощи исходных понятий даются определения другим геометрическим понятиям;
на основании аксиом и определений доказываются теоремы.
Исходным геометрическим понятием непосредственно определение не даётся. Их нельзя свести и каким-либо другим понятиям в принятой системе изложения. Но это не значит, что они остаются совершенно неопределёнными. Они обозначаются косвенно, через перечисление некоторых признаков и свойств в аксиомах. С помощью аксиом логическим путём выводятся другие свойства геометрических понятий. Утверждения такого рода называются теоремами, а рассуждения, в ходе которых они устанавливаются – доказательствами.
Приведём некоторые обозначения, применяемые в стереометрии:
α, β, γ, … – обозначения плоскостейα, β, γ…;
А = В, а = b, α = β – точки А и В совпадают, прямые а и b совпадают, плоскости α и β совпадают;
А ≠ В, а ≠ b, α ≠ β – точки А и В не совпадают, прямые а и b не совпадают, плоскости α и β не совпадают;
А Є а, А Є α – точка А принадлежит прямой а, точка А принадлежит плоскости α;
Читайте также: