Дайте характеристику понятиям гипотеза теория аксиома кратко

Обновлено: 02.07.2024

Методология науки — это научная дисциплина, которая изучает методы научно-познавательной деятельности. Методология в широком смысле представляет собой рационально-рефлексивную мыслительную деятельность, направленную изучение способов преобразования человеком действительности — методов (рациональных действий, которые необходимо предпринять, чтобы решить определённую задачу или достичь определённой цели). Применение методов осуществляется в любой сфере научно-познавательной деятельности. Методология науки осуществляет исследование, поиск, разработку и систематизацию методов, применяемых в этой деятельности для получения научного знания и тех общих принципов, которыми она направляется

Аксиома

Аксиома — это исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования его доказательства и используемое в основе доказательств других её положений по принятым в ней правилам логического вывода. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Положения, выводимые из аксиом, называют теоремами. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. В науке аксиома понимается как положение научной теории, которое принимается в качестве исходного, причём вопрос об истинности аксиоматического положения решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теоретической системы: реализация некоторой формализованной аксиоматической системы в той или иной предметной области свидетельствует об истинности принятых в ней аксиом.

Истина абсолютная или аксиома – утверждение безусловно верное, не нуждающееся в доказательствах в силу своей самоочевидности (это так, потому что иначе просто быть не может), и в принципе не допускающее возможности опровержения каким бы то ни было опытом.

Истина относительная или постулат – утверждение, в рамках данной логической системы не выводящееся из аксиом, верность которого установлена опытным путем, но логически допускающее возможность альтернативного.

Истина вероятная или гипотеза – предложение, логически эквивалентное постулату, принимаемое до опыта, однако допускающее опытную проверку хотя бы в принципе.

Истина возможная, то есть вера или тезис – допущение, не противоречащее как основным положениям данной логической схемы, так и ее прямым следствиям, но опытом не устанавливаемое. Может оказаться следствием посылок или теоремой.

Напишите понятные определения для гипотезы, аксиомы, теоремы и теории.
А так же как они связанны друг с другом.

Теорема это только математически термин?


Как доказать, что из аксиомы треугольника и аксиомы тождества выплывает аксиома симметрии
Как доказать, что из аксиомы треугольника и аксиомы тождества выплывает аксиома симметрии?


Упростить формулу, используя аксиомы и теоремы булевой алгебры
Упростить формулу, используя аксиомы и теоремы булевой алгебры.

Доказать теоремы теории L1
Доказать теоремы теории L1 используя только основные правила вывода и аксиомы этой теории: .

Решение

Доказать можно (на основе других аксиом). Но не доказывают.

Гипотеза - это утверждение, которое не является истинной и не является ложью, какое-то не доказанное и не опровергнутое утверждение.

Не доказанное и не опровергнутое. Но либо истина, либо ложь (хотя это и не известно).

Если теорема - это истинное доказанное утверждение, то теория является истиной. Правда, в состав теории входят ещё и определения.

Ещё в механике и логике есть теоремы. Всё таки логику можно считать самостоятельной наукой (хотя и использующей методы математики), если отбросить математический шовинизм.

Написать программу из теории чисел для теоремы Эйлера
Привет. Решил делать программу для дискретной математики, а не знаю как записать все функции.

Задачи по теории вероятности. На основные теоремы вероятности
1. Из колоды в 36 карт наудачу внимают три карты. Найти вероятность того, что они будут одной и той.

Дать понятие понятие НОК в кольце целых чисел
Дать понятие понятие НОК в кольце целых чисел.


Понятие трудоёмкости алгоритма Понятие эффективного алгоритма
Понятие трудоёмкости алгоритма. Классификация алгоритмов на основе функции трудоёмкости. .

Понятие трудоёмкости алгоритма. Понятие эффективного алгоритма
Понятие трудоёмкости алгоритма. Классификация алгоритмов на основе функции трудоёмкости.


Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

  1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
  2. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
  3. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
  4. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
  5. Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
  6. От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
  7. Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.


аксиома о параллельных прямых

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:


Аксиома Архимеда

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

  • если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
  • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

  • Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
  • Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

  • Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
  • Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
  • Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

  • прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

  • Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
  • Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
  • Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
  • Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:


Теорема Пифагора

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:


формула Теорема косинусов

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.


Треугольник

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.


равенство диагоналей признак прямоугольника

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:


параллельные противоположные стороны четырехугольника

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Читайте также: