Аксиоматический метод это кратко

Обновлено: 05.07.2024

Новейший философский словарь. — Минск: Книжный Дом . А. А. Грицанов . 1999 .

Полезное

Смотреть что такое "АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД" в других словарях:

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путём, посредством… … Философская энциклопедия

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений (аксиом). Этот метод является одной из основ математической науки: его использовали еще в древней Греции, а формализацию его… … Научно-технический энциклопедический словарь

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Современная энциклопедия

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории … Большой Энциклопедический словарь

аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Аксиоматический метод — АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории (вспомогательные леммы и ключевые теоремы) получаются как… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ организации научного (в особенности, теоретического) знания, сущность которого состоит в выделении среди всего множества истинных высказываний об определенной предметной области такого его подмножества (аксиом), из которого логически… … Философия науки: Словарь основных терминов

аксиоматический метод — способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. * * * АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД, способ… … Энциклопедический словарь

аксиоматический метод — aksiominis metodas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. axiomatic method vok. axiomatische Methode, f rus. аксиоматический метод, m pranc. méthode axiomatique, f … Fizikos terminų žodynas

Аксиоматический метод является способом построения научных теорий, которые уже установлены. В основе лежат аргументы, факты, утверждения, не требующие доказательств или опровержения. По сути, это вариант знания представлен в виде дедуктивной структуры, в которую изначально входит логическое обоснование содержания из основоположений – аксиом.

Этот метод не может быть открытием, а является только классифицирующим понятием. Он больше подойдет для преподавания. В основе присутствуют исходные положения, а остальные сведения вытекают как логическое следствие. Где находится аксиоматический метод построения теории? Он лежит в структуре большинства современных и устоявшихся наук.

аксиоматический метод

Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова

Прежде всего, это понятие возникло в Древней Греции благодаря Евклиду. Он стал основоположником аксиоматического метода в геометрии. Сегодня он распространен во всех науках, но более всего в математике. Этот способ формируется на основе устоявшихся утверждений, а последующие теории выводятся путем логического построения.

Это объясняется следующим образом: существуют слова и понятия, которые определяются другими понятиями. В результате исследователи пришли к выводу, что существуют элементарные выводы, обоснованные и являющиеся постоянными – основными, то есть аксиомами. К примеру, доказывая теорему, обычно опираются на факты, которые уже устоявшиеся и не требуют опровержения.

Однако до этого их требовалось обосновать. В процессе получается, что неаргументированное утверждение принимается за аксиому. Опираясь на набор постоянных понятий, доказывают другие теоремы. Они составляют основу планиметрии и являются логическим строением геометрии. Устоявшиеся аксиомы в этой науке определяются как объекты любой природы. Они, в свою очередь, обладают свойствами, которые указаны в постоянных понятиях.

аксиоматический метод построения теории

Дальнейшие исследования аксиом

Способ рассматривался как идеальный вплоть до девятнадцатого столетия. Логические средства поиска основных понятий еще в те времена не изучались, но в системе Евклида можно наблюдать структуру получения содержательных последствий из аксиоматического метода. Исследования ученого показали идею о том, как получить полную систему геометрических знаний на основе чисто дедуктивного пути. Им предлагалось сравнительно небольшое количество утвержденных аксиом, которые истинны наглядно.

Заслуги древнегреческих умов

Евклид доказал множество понятий, причем некоторые из них были обоснованы. Однако большинство приписывает эти заслуги Пифагору, Демокриту и Гиппократу. Последний составил полный курс геометрии. Правда, позже в Александрии вышел сборник "Начало", автором которого являлся Евклид. Затем, он был переименован в "Элементарную геометрию". Спустя некоторое время его начали критиковать на основе некоторых причин:

  • все величины строились только с помощью линейки и циркуля;
  • геометрия и арифметика были разъединены и доказывались с учетом обоснованных чисел и понятий;
  • аксиомы, некоторые из них, в частности, пятый постулат, предлагали вычеркнуть из общего списка.

В результате в XIX веке возникает неевклидовая геометрия, в которой отсутствует объективно истинный постулат. Это действие дало толчок для дальнейшего развития геометрической системы. Таким образом, к дедуктивным способам построения пришли математические исследователи.

аксиоматический метод в геометрии

Развитие математического знания на основе аксиом

Когда начала развиваться новая система геометрии, изменился и аксиоматический метод. В математике стали чаще обращаться к чисто дедуктивному построению теории. В результате в современной числовой логике возникла целая система доказательств, которая является главным разделом всей науки. В математической структуре стали понимать необходимость обоснования.

Так, уже к концу столетия сформировались четкие задачи и построение сложных понятий, которые из сложной теоремы сводились к простейшему логическому утверждению. Таким образом, неевклидовая геометрия стимулировала прочную основу для дальнейшего существования аксиоматического метода, а также для решения проблем общего характера математических конструкций:

  • непротиворечивости;
  • полноты;
  • независимости.

В процессе появился и успешно получил развитие способ интерпретации. Этот метод описывается так: для каждого выходного понятия в теории поставлен математический объект, совокупность которых называется полем. Высказывание об указанных элементах может быть ложным или истинным. В результате утверждения получают названия в зависимости от выводов.

Особенности теории интерпретации

Как правило, поле и свойства также подвергаются рассмотрению в математической системе, и она, в свою очередь, может стать аксиоматической. Интерпретация доказывает утверждения, в которых имеется относительная непротиворечивость. Дополнительным вариантом выступает ряд фактов, при которых теория становится противоречивой.

По сути, условие в ряде случаев выполняется. В результате получается, что, если в высказываниях одного из утверждений присутствуют два ложных или истинных понятия, то оно считается отрицательным или положительным. Таким методом была доказана непротиворечивость геометрии Евклида. При интерпретационном методе можно решить вопрос о независимости систем аксиом. Если нужно опровергнуть какую-либо теорию, то достаточно доказать, что одно из понятий не выводится из другого и ошибочно.

Однако наряду с успешными утверждениями, способ имеет и слабые стороны. Непротиворечивость и независимость систем аксиом решаются как вопросы, которые получают результаты, носящие относительный характер. Единственное важное достижение интерпретации – обнаружение роли арифметики как структуры, в которой вопрос о непротиворечивости сводится к ряду иных наук.

аксиоматический метод в математике

Современное развитие аксиоматической математики

Аксиоматический метод стал развиваться в работе Гилберта. В его школе было уточнено само понятие теории и формальной системы. В результате возникла общая система, а математические объекты стали точными. Кроме того, появилась возможность решить вопросы обоснования. Таким образом, формальная система строится точным классом, в котором находятся подсистемы формул и теорем.

Чтобы построить эту структуру, нужно только руководствоваться техническими удобствами, потому что они не имеют никакой смысловой нагрузки. Они могут быть вписаны знаками, символами. То есть, по сути, сама система строится таким образом, чтобы формальную теорию можно было применять адекватно и в полной мере.

В результате выливается конкретная математическая цель или задача в теорию на основе фактического содержания или дедуктивного умозаключения. Язык числовой науки переводят на формальную систему, в процессе любое конкретное и осмысленное выражение определяется формулой.

Метод формализации

При естественном положении вещей подобный способ сможет решать такие глобальные вопросы, как непротиворечивость, а также строить положительную суть математических теорий по выведенным формулам. Причем в основном все это будет решать формальная система на основе доказанных утверждений. Математические теории постоянно осложнялись обоснованиями, и Гилберт предложил исследовать эту структуру при помощи финитных методов. Но это программа провалилась. Результаты Геделя уже в двадцатом столетии привели к следующим выводам:

  • естественная непротиворечивость невозможна за счет того, что формализованная арифметика или другая подобная наука из этой системы будет неполной;
  • появились неразрешимые формулы;
  • утверждения недоказуемы.

Истинные суждения и разумное финитное доведение считаются формализуемыми. С учетом этого аксиоматический метод имеет определенные и четкие границы и возможности в рамках этой теории.

аксиоматический метод примеры

Результаты развития аксиом в трудах математиков

Несмотря на то что некоторые суждения были опровергнуты и не получили должного развития, способ постоянных понятий играет значительную роль в формировании основ математики. Кроме этого, интерпретация и аксиоматический метод в науке выявили фундаментальные результаты непротиворечивости, независимости утверждений выбора и гипотез во множественной теории.

В решении вопроса непротиворечивости главное применить не только устоявшиеся понятия. Их нужно также дополнить идеями, концепциями и средствами финитного доведения. В данном случае рассматриваются различные взгляды, способы, теории, которые должны учитывать логический смысл и обоснование.

Непротиворечивость формальной системы указывает на подобное доведение арифметики, которая опирается на индукцию, счет, трансфинитное число. В научной области аксиоматизация является важнейшим инструментом, имеющим неопровержимые концепции и утверждения, берущиеся за основу.

Сущность исходных утверждений и их роль в теориях

Оценка аксиоматического метода указывает на то, что в его сущности лежит некая структура. Эту систему строят с выявления основополагающей концепции и фундаментальных утверждений, которые являются неопределяемыми. То же происходит и с теоремами, считающимися исходными и принимающимися без доказательств. В естественных науках за подобные утверждения выступают правила, допущения, законы.

Затем происходит процесс фиксации установленных баз для рассуждений. Как правило, сразу указывается, что из одного положения выводится другое, а в процессе выходят остальные, которые, в сущности, совпадают с дедуктивным методом.

аксиоматический метод в науке

Особенности системы в современности

В составе аксиоматической системы находятся:

  • логические выводы;
  • термины и определения;
  • частично неправильные утверждения и понятия.

В современной науке этот метод утратил абстрактность. В Евклидовой геометрической аксиоматизации в основе лежали интуитивные и истинные положения. И интерпретировалась теория единственным, естественным способом. Сегодня аксиома – это положение, которое само по себе очевидно, а соглашение, причем любое, может выступать как начальное, не требующее обоснования понятие. В результате исходные значения могут быть далекими от наглядности. Этот метод требует творческого подхода, знания взаимосвязей и исходной теории.

Основные принципы выведения заключений

Дедуктивно аксиоматический метод – это научное познание, строящееся по определенной схеме, в основе которой лежат правильно осознанные гипотезы, выводящие утверждения об эмпирических фактах. Подобное умозаключение строится на основе логических структур, путем жесткого выведения. Аксиомы – изначально неопровержимые утверждения, не требующие доказательств.

При дедукции к исходным понятиям применяются определенные требования: непротиворечивости, полноты, независимости. Как показывает практика, первое условие основано на формально-логическом знании. То есть в теории не должны присутствовать значения истинности и ложности, ибо она уже не будет иметь значения и ценности.

Если такое условие не соблюдается, то она считается несовместной и в ней теряется какой-либо смысл, ибо теряется смысловая нагрузка между истиной и ложью. Дедуктивно аксиоматический метод является способом построения и обоснования научного знания.

дедуктивно аксиоматический метод это

Практическое применение метода

Аксиоматический метод построения научного знания имеет практическое применение. По сути, этот способ влияет и оказывает глобальное значение на математику, хотя это знание уже достигло своей вершины. Примеры аксиоматического метода следующие:

  • аффинные плоскости имеют три утверждения и определение;
  • теория эквивалентности обладает тремя доказательствами;
  • бинарные отношения подразделяются на систему определений, понятий и дополнительных упражнений.

Если нужно сформулировать исходное значение, то необходимо знать природу множеств и элементов. В сущности, аксиоматический метод лег в основу различных областей науки.

Аксиоматический метод — это метод развития, построения и систематизации научно-теоретического знания (см. Теория) в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путём выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) данной теории.

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала перечисляются основные (неопределяемые) понятия, при этом все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определённые ранее. Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через ещё более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми. Далее формулируется и задаётся набор исходных положений, не требующих доказательства и называемых постулатами или аксиомами (аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется — см. Аксиома). Затем из них по посредством логических процедур вывода (доказательства) выводятся (дедуцируются) все остальные предложения (утверждения), называемые теоремами. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Иногда аксиоматическую теорию строят с помощью специального (формализованного) языка символов. В этом случае аксиомы представляют собой формулы этого языка (последовательности символов), а теоремы получаются как преобразования исходных последовательностей символов в новые последовательности по строго определённым логическим правилам исходных последовательностей символов в новые последовательности. Такую теорию называют исчислением, или формальной аксиоматической теорией. Правила, по которым должны проводиться такие рассуждения, рассматриваются в логике (см. Логика). Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории.

Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто так называемые постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а античные математики делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Следует отметить, что учёт статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, например, одну из них новым постулатом значения.

Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учётом ряда особенностей. В основном сфера применения аксиоматического метода ограничена теми науками, в которых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним чётких предписаний формальной логики, а наибольшая эффективность метода проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчинённую роль. По этой причине попытки применения аксиоматического метода в философии (которая по самому существу занимается неформализованным анализом понятий, при этом не рассматриваемых как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели.

Аксиоматические теории представляют собой одну высших форму организации знания. Относительно них могут устанавливаться такие их свойства, как непротиворечивость, полнота, разрешимость, независимость исходных постулатов, определяться их отношения к другим аксиоматическим теориям и так далее. Однако, как показал К. Гёдель, доказавший в 1931 году теорему о принципиальной неполноте любой формальной системы, аксиоматический метод имеет существенные ограничения в своём применении, так как достаточно богатые содержательные теории в принципе не могут быть полностью аксиоматизированы. В дальнейшем были получены и другие ограничительные теоремы, касающиеся аксиоматического метода. В частности, А. Тарский показал, что понятие истины, определяемое относительно некоторой теории, не выразимо средствами этой теории.

аксиоматический метод или также называемый Аксиоматика - это формальная процедура, используемая науками, посредством которой формулируются утверждения или суждения, называемые аксиомами, связанные друг с другом отношением выводимости и которые являются основой гипотезы или условий определенной системы..

Это общее определение должно быть включено в эволюцию, которую эта методология имела на протяжении всей истории. Во-первых, существует древний метод или содержание, родившееся в Древней Греции от Евклида и позднее разработанное Аристотелем..


Во-вторых, уже в девятнадцатом веке появление геометрии с аксиомами отличалось от аксиом Евклида. И, наконец, формальный или современный аксиоматический метод, максимальным показателем которого был Дэвид Гильберт.

Помимо развития с течением времени, эта процедура была основой дедуктивного метода, используемого в геометрии и логике, где она возникла. Это также использовалось в физике, химии и биологии.

И это даже применимо к юридической науке, социологии и политической экономии. Однако в настоящее время наиболее важной областью его применения является математика и символическая логика, а также некоторые отрасли физики, такие как термодинамика, механика и другие дисциплины..

  • 1 Характеристики
    • 1.1 Старый аксиоматический метод или содержание
    • 1.2 Неевклидов аксиоматический метод
    • 1.3 Современный или формальный аксиоматический метод

    черты

    Хотя фундаментальной характеристикой этого метода является формулировка аксиом, они не всегда рассматривались одинаково.

    Есть некоторые, которые могут быть определены и построены произвольным образом. И другие, в соответствии с моделью, в которой рассматривается ее интуитивно гарантированная правда.

    Чтобы понять, в чем конкретно состоит это различие и каковы его последствия, необходимо рассмотреть эволюцию этого метода..

    Старый аксиоматический метод или содержание

    Таким образом, греки принимают определенные факты за аксиомы, не требуя каких-либо логических доказательств, то есть без необходимости демонстрации, поскольку для них они являются очевидной истиной.

    Евклид, в свою очередь, представляет пять аксиом по геометрии:

    1-Учитывая две точки есть линия, которая содержит или связывает их.

    2-Любой сегмент может продолжаться непрерывно по неограниченной линии с обеих сторон..

    3-Вы можете нарисовать круг, который имеет центр в любой точке и любом радиусе.

    4-прямые углы одинаковы.

    5. Принимая любую прямую линию и любую точку, которая не находится в ней, есть прямая линия, параллельная этому, и которая содержит эту точку. Эта аксиома известна позже как аксиома параллелей и была сформулирована также как: точкой вне линии можно провести одну параллель.

    Тем не менее, как Евклид, так и более поздние математики сходятся во мнении, что пятая аксиома не так понятна, как другая 4. Даже во времена Ренессанса пытается вывести пятую из остальных 4, но это невозможно.

    Это сделало то, что уже в девятнадцатом веке те, кто поддерживал пятерых, были сторонниками евклидовой геометрии, а те, кто отрицал пятую, были теми, кто создал неевклидовы геометрии.

    Неевклидов аксиоматический метод

    Именно Николай Иванович Лобачевский, Янош Боляй и Иоганн Карл Фридрих Гаусс видят возможность построения, без противоречия, геометрии, которая исходит из систем аксиом, отличных от систем аксиом Евклида. Это разрушает веру в абсолютную или априорную истинность аксиом и теорий, которые вытекают из них.

    Следовательно, аксиомы начинают восприниматься как отправные точки данной теории. Также и их выбор, и проблема их обоснованности, так или иначе, начинают касаться фактов, выходящих за рамки аксиоматической теории..

    Таким образом появляются геометрические, алгебраические и арифметические теории, построенные с помощью аксиоматического метода..

    Эта стадия завершается созданием аксиоматических систем для арифметики, таких как система Джузеппе Пеано в 1891 году; геометрия Дэвида Хьюберта в 1899 году; заявления и предикатные расчеты Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела в Англии в 1910 году; Аксиоматическая теория множеств Эрнста Фридриха Фердинанда Цермело в 1908 г..

    Современный или формальный аксиоматический метод

    Именно Дэвид Хьюберт инициирует концепцию формального аксиоматического метода, и это приводит к его кульминации, Дэвид Хилберт.

    Именно Гильберт формализует научный язык, рассматривая его утверждения как формулы или последовательности знаков, которые сами по себе не имеют никакого значения. Они приобретают смысл только в определенной интерпретации..

    ВОсновы геометрии«Объясняет первый пример этой методологии. Отсюда геометрия становится наукой о чисто логических последствиях, которые извлекаются из системы гипотез или аксиом, лучше сформулированных, чем евклидова система..

    Это потому, что в старой системе аксиоматическая теория основана на доказательстве аксиом. В то время как основа формальной теории дана демонстрацией непротиворечивости ее аксиом.

    меры

    Процедура, которая выполняет аксиоматическое структурирование в рамках научных теорий, признает:

    a - выбор определенного количества аксиом, то есть ряда предложений определенной теории, которые принимаются без необходимости демонстрации.

    б-понятия, входящие в эти суждения, не определены в рамках данной теории.

    c-правила определения и вывода данной теории фиксированы и позволяют вводить новые понятия в рамках теории и логически выводить некоторые положения из других.

    г - другие положения теории, т. е. теорема, выводятся из а на основе с.

    примеров

    Этот метод может быть проверен посредством демонстрации двух наиболее известных теорем Евклида: теоремы о ножке и теоремы о высоте..

    И то и другое вытекает из наблюдения этого греческого геометра о том, что при построении высоты относительно гипотенузы внутри прямоугольного треугольника два треугольника оказываются больше оригинала. Эти треугольники похожи друг на друга и в то же время похожи на треугольник происхождения. Это предполагает, что их соответствующие гомологичные стороны пропорциональны.

    Можно видеть, что конгруэнтные углы в треугольниках таким образом подтверждают сходство, которое существует между тремя задействованными треугольниками согласно критерию подобия AAA. Этот критерий гласит, что когда два треугольника имеют все равные углы, они похожи.

    Как только треугольники показаны подобными, пропорции, определенные в первой теореме, могут быть установлены. В нем утверждается, что в правом треугольнике измерение каждого катета представляет собой среднее геометрическое пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета в нем..

    Вторая теорема - это теорема о высоте. Он указывает, что любой прямоугольный треугольник, высота которого нарисована в соответствии с гипотенузой, является геометрическим пропорциональным средним между сегментами, которые определяются указанным геометрическим средним на гипотенузе..

    Конечно, обе теоремы имеют множество применений во всем мире не только в области образования, но и в технике, физике, химии и астрономии..

    Аксиоматический метод – важнейший способ структурирования, а также увеличения научных знаний среди различных областей – формировался в течение более чем двух тысячелетий научной эволюции. Фундаментальный вклад в математику вносит именно аксиоматическая методика.

    Многие учёные считают математическую науку достигшей идеала только в то время, когда она пользуется аксиоматическим методом. Другими словами, когда она принимает характер аксиоматической теории.

    История аксиоматического метода

    История аксиоматического метода

    Платон — один из величайших мыслителей древности

    Становление сегодняшнего толкования сущности аксиоматической теории осуществлялось в течение двух десятков веков формирования науки.

    Знаменитый мыслитель античных времен Платон (427-347 гг. до н.э.) был одним из первых, поставивших себе целью устроить всё научное знание с помощью дедукции.

    Труды и сочинения, связанные с геометрией, стали появляться задолго до Платона, к таким относятся учебники Гиппократа Хиосского, Демокрита.

    Однако только он предложил ставить во главу угла каждой науки ключевые понятия, с опорой на которые будут делаться новые открытия.

    К сожалению, эта структура в его трудах прослеживается весьма неотчетливо и нечетко, черты ее лишь угадываются в его сочинении, созданном, к слову, на мистическом фундаменте.

    Наследники Платона

    Наследники Платона

    Ещё один древний ученый — Аристотель

    Учеником Платона, который смог перешагнуть эти суеверия, стал великий Аристотель.

    Тот снял покров с намерений своего учителя – требований к рационализации любой науки, собрал в себе практически каждую отрасль науки.

    Как считается, Аристотель и стал родоначальником научного метода, а также некоторых наук.

    Согласно его трудам, наука есть ничто иное как множество положений, принадлежащих к той или иной сфере знания. К этим положениям относятся и те, которые являются столь очевидными, что в доказательстве их нет никакой необходимости – аксиомы.

    Свыше двух тысяч лет труд Евклида был, по сути, непревзойденным учебником для геометров всего мира. Данное сочинение было самой первой научной книгой за всю историю.

    Там геометрия полностью представлялась как аксиоматическая теория, построенная на принципах, сформулированных Аристотелем и Платоном.

    Пятый постулат Евклида

    Сильнее всего изучавших систему Евклида интересовал пятый постулат:

    Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

    Сложность этой формулировки по сравнению с остальными постулатами наводило ученых на мысль о доказательстве этого утверждения и таким образом исключения его из перечня постулатов.

    Подобные разработки безуспешно проводились Посидонием (I в. д.н.э.), Санкери и Ламбертом (оба — XVIII).

    То была самая настоящая Евклидова эра в геометрической истории, эпоха его последователей и преемников, время, когда вся геометрическая наука строилась по наивно-аксиоматическому принципу.

    После столетий безуспешных попыток доказательства пятой аксиомы Евклида эта эпоха подошла к концу, оставив после себя уникальное достижение – открытие иного понимания самой геометрии в целом, аксиоматического метода ее изучения в частности.

    Понимание значимости этой теории пришло не сразу – Лобачевский не только доказал независимость пятого постулата, но и вывел из этого факта, что вместе с геометрией Евклидовой существует и отличная от нее, для которой постулат этот ошибочен!

    Помимо всего прочего, неевклидова геометрия доказала неправоту ученых, считавших Евклидову геометрию единственным возможным учением о пространстве.

    Работы Д. Гильберта

    Приблизительно в начале второй половины XIX века математическое общество в большинстве своём признало заслуги Лобачевского и приступило к последующему развитию его идей.

    В своем труде автор описал полную аксиоматическую теорию геометрии Евклида, то есть несколько положений, на основании которых могли доказываться другие. Далее автор доказывает нелогичность и раскрывает множественные противоречия данной системы.

    После выхода книги все вопросы про логическое обоснование аксиоматической теории были полностью закрыты. Помимо этого, до конца поняты столпы, характеризующие структуру такого подхода к пониманию геометрической науки и структура аксиоматики в целом.

    Приняты основы построения аксиоматических теорий и выявлены вопросы, требующие ответа при ее построении – те, что связаны с неоднозначностью, согласованностью данной теории и правильности ее аксиоматической системы.

    Разные аксиоматические системы, построенные на отличающихся базисных понятиях, были обычным делом и до книги Гильберта, и после (до самого начала 20-го века). Так завершился следующий шаг эволюции аксиоматики и построения геометрии за счёт нее.

    Итоги эволюции аксиоматики

    Итоги эволюции аксиоматики

    Логика связала между собой все области математики

    Он обозначает некое множество схожих предметов любой природы (точки, вектора, фигуры и др.), взаимоотношения которых соблюдаются для какой-то аксиоматической системы.

    Данная точка зрения позволила множеству идей геометров проникать в бесчисленное количество сфер многих наук, будучи оплодотворёнными методом аксиоматики.

    В то же время эта наука развивалась и превращалась в гораздо более единую науку, размытие границ между разделами происходило всё отчетливее.

    Самым настоящим цементом, скреплявшим воедино все основания математических областей, стала логика математики. За счёт нее исследовался путь доказательства, путь выведения теоремы с помощью аксиомы. Таким образом метод развивался далее и в некотором смысле покорил вершину.

    Пример аксиоматического метода

    Пример аксиоматического метода

    Все математические теории формировались примерно одинаково

    В наши дни построение аксиоматики для любой сферы математической науки выглядит следующим образом — в первую очередь идет перечисление понятий без определения.

    Затем перечисляются аксиомы, для которых установлены какие-либо связи между базовыми терминами, далее следует выведение следующих понятий.

    А вслед за этим, на основании начальных утверждений из аксиом будут доказаны следующие – теоремы.

    Любая известная математикам теория проходила формирование по одному из 2 путей:

      , при котором математическая теория достигает значительной степени усовершенствования и затем становится, по существу, аксиоматической. Так, аксиоматизацию претерпели: арифметика (аксиоматическая система Д. Пиано), геометрия (системы Д. Гильберта, М. Пиери и др.), теория вероятности (А.Н. Колмогорова) и др..
    1. Путь, основанный на обнаружении сильного соответствия главных свойств отличных друг от друга теорий. Для их становления возникла идея выделения схожих черт, на основании которых и будет построена теория. Возник великолепный шанс смешивания разных методов, вольной интерпретации понятий и аксиом и открыло широкий простор использования данных теорий. Этого пути придерживались теория групп, теория колец, теория полей и др..

    Базис определяется, исходя из опыта, следовательно, все утверждения, хоть и выводятся абсолютно логическим путем, всё же тесно переплетены с реальностью и часто применяются в жизни.

    Примеры Аксиоматических теорий

    Рассмотрим концепции, развитые обоими вариантами:

    • Теория конгруэнтности расстояний. Есть R множество расстояний и ≅ отношение, называемое коэффициентом конгруэнтности, таким образом, что выражение c ≅ k обозначает следующее: расстояние c конгруэнтно расстоянию k. Как аксиомы приняты эти положения:

    E1. Для любого c из R c ≅ c.
    E2. Для любых элементов c, k, t из R, если c ≅ t и k ≅ t, то c ≅ k
    Теорема: Для произвольных компонентов c и t из R, если k ≅ t, то t ≅ k
    Док-во: В соответствии с аксиомой E2, заменив t на c, получим, что если t ≅ t и k ≅ t, то t ≅ k. Поскольку член конъюнкции t ≅ t истинен (E1), то из конъюнкции его исключим и получим, что t ≅ k.

    Ниже приведено доказательство теоремы, выведенной из вышеперечисленных аксиом.

    Док-во: Рассматриваем совокупность T = . Воспользуемся последней из аксиом (K4):

    • 1 ∈ T, ведь 1’≠ 1 по аксиоме K1;
    • Пускай, c ∈ T, иными словами. с’ ≠ с. В таком случае, согласно третей из аксиом, (c’) ‘ ≠ c’. Откуда с’ ∈ T

    Четвертая аксиома соблюдена, поэтому T=R (K4), что в свою очередь означает, что (∀ с) (с’ ≠ с). Теорема доказана.

    Выстраивание теории о множествах Кантора, с опорой на ряд аксиоматических систем. В сумме рассматриваются 2 системы.

    (K1) c ∩ t = t ∩ c.
    (K2) c ∪ t = t ∪ c.
    (K3) c ∩ (t ∪ e) = (c ∩ t) ∪ (c ∩ e).
    (K4) c ∪ (t ∩ e) = (c ∪ t) ∩ (c ∪ e).
    (K5) c ∩ 1 = c.
    (K6) c ∪ 0 = c.
    (K7) c ∩ c’ = 0.
    (K8) c ∪ c’ = 1.

    (L1) c ∩ t = t ∩ c.
    (L2) (c ∩ t) ∩ e = c ∩ (t ∩ e).
    (L3) c ∩ t’ = e ∩ ez’ ⇒ c ∩ t = c.
    (L4) c ∩ t = c ⇒ c ∩ t’ = e ∩ e’.

    Заключение

    Становление науки двадцатого столетия указало на то, что математику выделяет среди прочих областей знания как раз использование аксиоматического метода очень широко. Он в большой доле определяет высокую эффективность математики при познании мира и преобразующего воздействия на него.

    В этом видео вы узнаете об аксиоматическом методе в контексте решения задач:

    Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы сообщить нам.

    Читайте также: