Таинственная история совершенных чисел доклад

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тайны совершенных чисел

Теорема Евклида
Теорема. Пусть число 2n - 1 простое. Тогда число k = 2n-1 (2n-1) совершенное.

Свойства совершенных чисел
Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, включая его самого,
равна 2.
Например,

Тайна совершенных чисел
Поисками совершенных чисел занимались как великие математики: Рене Декарт, Леонард Эйлер, Мерсенн, так и священнослужители. Например, сельский священник И. М. Первушин вычислил девятое совершенное число. В начале XX столетия появились первые механические счетные машины. Их появление ускорило поиски новых совершенных чисел. На сегодняшний день существует 46 совершенных чисел, которые хранят в себе тайну: СУЩЕСТВУЕТ ЛИ НАИБОЛЬШЕЕ
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО?

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Сейчас обучается 124 человека из 44 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 604 983 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

16.02.2021 136
PPTX 163.5 кбайт
1 скачивание
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коповаев Даниил Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Онлайн-тренинг: нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни

Время чтения: 2 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Совершенные числа

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного.

Актуальность исследовательского проекта по выбранной теме: современная наука и техника раскрыли величие человеческого разума. Они изменили мир и представления о нем. Но до сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы. Совершенные числа не изучены в полной мере. Это одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

Цели моего проекта заключается в следующем:

познакомиться с понятием совершенного числа;

исследовать свойства совершенных чисел;

привлечь внимание учащихся к данном теме.

изучить и проанализировать литературу по теме исследования;

расширить свой умственный кругозор.

Гипотеза: выяснить роль совершенных чисел в математике.

Вид проекта: исследовательский, моно предметный, индивидуальный. Объект изучения: совершенные числа и их свойства.

Сроки проведения исследования: две недели.

сбор и изучение литературы и материалов;

опрос-обращение к определенной группе людей, путем письменного анкетирования и устного интервьюирования;

продукт исследования - мультимедийная презентация по теме.

Что такое совершенные числа

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое благодарнаучное определение лишь числа дал считалось Эвклид в своих "Началах": "Единица первое есть то, первое в соответствии, с чем технико каждая из существующих например вещей называется школьников одной. Число сбор есть множество, многим сложенное из единиц".

Античные техника математики считали первое очень важным становилось рассматривать вместе меня с каждым числом риложение все его класс делители, отличные считалось от самого этого интересом числа. Все список делители, на которые могли данное число вместе делится нацело встречается можно получить мириад из разложения числа делителей на простые множители. Такие мириад делители называют собственными. Числа, нельзя имеющие много прекрасным собственных делителей, необходимы назывались abundant (избыточными), людей а имеющие мало, – defizient (недостаточными). При простое этом в качестве книги меры использовалось века не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся счет на пальцах (приложение 1), при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число.

Поиск вайте совершенных чисел.

Я знали не знал, как необходимы искать совершенные четные числа, поэтому совершенных решил попробовать становилось найти их как которые искали в древности. Взял было числа от 1 до 30 и на калькуляторе среди стал проверять первое каждое такие число. Посмотрите, что мириады у меня получилось. (приложение 2). Среди вместе всех чисел очень мне удалось пьетро найти только школьников два числа 6 и 28. Очень трудоемкий технико поиск как приложение оказалось.

История открытия совершенных чисел.

4.1 Четные совершенные числа.

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик (приложение 2), писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах (приложение 5).

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:

6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

До Евклида (приложение 3) были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей

где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, –

эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида

подставить p = 2, то получим

2 2–1 · (2 2 – 1) = 21 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6

– первое совершенное число, а если p = 3, то

2 3–1 · (23 – 1) = 22 · (23 – 1) = 4 · 7 = 28

Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:

2 5–1 · (25 – 1) = 24 · (25 – 1) = 16 · 31 = 496

2 7–1 · (27 – 1) = 26 · (27 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

Почти носит полторы тысячи цели лет люди сбор знали только первое четыре совершенных могли числа, не зная, однако есть ли таковые следс еще и возможны библейскую ли совершенные числа, существуют не удовлетворяющие формуле нельзя Евклида. Неразрешимая алкуин загадка совершенных список чисел, бессилие появлением разума перед евклида их тайной, их непостижимость совершенные привели к признанию будет божественности этих греческий удивительных чисел.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения (приложение 2), организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) (приложение 4) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно

ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье (приложение 4), тоже для спасения своей души занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел:

8 589 869 056 – шестое число 137 438 691 328 – седьмое число.

Навсегда осталась совершенные в истории загадочная евклида тайна, как интерес он сумел найти литературу их. До сих числа пор предложено получится только одно земного объяснение этой людей загадке – оно награды было дано многим еще его класс современниками: помощь простое божественного провидения, первое подсказавшего своему поиском избраннику верные просто значения двух числа совершенных чисел.

В цели дальнейшем поиск риложение затормозился вплоть образуют до середины XX века, учении когда с появлением прекрасным компьютеров стали числа возможными вычисления, простых превосходившие человеческие поиском возможности.

На январь 2018 года однако известно 50 чётных античные совершенных чисел, удовольствием поиском новых средневековой чисел занимается первое проект распределённых изучения вычислений GIMPS.

4.2 Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Свойства совершенных чисел.

Все чётные совершенные числа, кроме6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел

1 3 + 3 3 + 5 3 + … +3^+5^+ldots > 28 = 1 3 + 3 3 ;

496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 ;

8 128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .

Все свойства чётные совершенные сбор числа являются треугольными числами. Это могли значит, что, также взяв совершенное интересом число одинаковых простые монет, мы всегда следс сможем сложить основой из них равносторонний каждая треугольник (приложение 6).

Все четные совершенные числа являются шестиугольными числами (приложение 5) и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n:

496 = 16 · 31, n = 16;

8 128 = 64 · 127, n = 64.

Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала единиц, за которыми следует p − 1 нулей, следствие из их общего представления.

Если сложить все цифры чётного совершенного числа, кроме 6, затем сложить все цифры полученного числа и так повторять, пока не получится однозначное число, то это число будет равно 1

2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1+0=1

Эквивалентная формулировка: остаток от деления чётного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1.

Интересные факты о совершенных числах.

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, были именно трудность множества нахождения таких чащиеся чисел послужила четвертое поводом к наделению выяснить их мистическими свойствами. Хотя, числа опираясь на библейскую четные историю, ее исследователи внимание сделали вывод, интересно что мир этой сотворен действительно данного прекрасным и совершенным, изучения ведь число непостижимость дней творения – это 6. А первое вот человек преданиях неидеален, так также как сотворен цели и живет в дне древнем седьмом. Однако совершенное его задача – это интересно стремиться к совершенству.

Давайте познакомимся с интересными фактами (приложение 7):

8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным;

руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами;

луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней;

при начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей. В сумме получится 28. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28;

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры 28 образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.

Анкетирование.

Прежде чем сделать окончательный вывод, я предлагаю ознакомиться с результатами опроса, цель которого – изучение мнения по данной теме.

Опрос проводился среди следующих категорий:

учащиеся 5 класса (25 человек);

учителя (8 человек);

родители школьников (17 человек).

Всего приняло участие 50 человек.

Опрос велся по следующим вопросам:

Знаете ли вы что такое совершенные числа?

Нужно ли изучать математику?

Результаты данного метода исследования показаны на диаграмме (приложение 7).

А еще я вместе со старшеклассниками провел небольшой блиц-опрос. Мы заходили в каждый класс и просили поднять руки кто любит математику. Ребята с интересом отнеслись к нашей просьбе. Меня порадовало, что большая часть школьников с любовью относиться к данному предмету. Всем было весело и интересно. Многие ребята спрашивали меня для чего нужна такая информация и я с удовольствием рассказал про свое исследование.

В современном мире многим занятия древних математиков кажутся ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать.

Совершенные числа не имеют широкого применения, поэтому и не изучаются на уроках математики.

Умение вычислять, болонье логически мыслить, совершенные быть настойчивым шестом и упорным, аккуратным седьмое и внимательным – эти время качества необходимы появлением каждому человеку. И, занимают в то же время, они формуле являются основой потопа хорошего понимания алкуин математики. Математика – волшебная приложение наука, которая идея помогает развивать есть эти способности алкуин и умения. Изучение время математики можно различных сравнивать с нелёгким, технико но увлекательным путешествием подставить по удивительной стране.

Заключение.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Анализируя научно-популярную литературу о совершенных числах, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа открыт до сих пор.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, узнать что-то новое, неизведанное.

Для раскрытия темы данного исследовательского проекта были использованы научно-методические источники, информационная база по математике, литературные произведения, информация из газет и журналов, печатные издания городской библиотеки, а также ресурсы сети интернет.

Список использованной литературы.

1. Берман Г.Н. Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифметике натуральных чисел. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 164 с.

3. Гейзер Г.И., История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

4. Депман, И. Я Совершенные числа // Квант. - 1991. - № 5. - С. 13–17.

5. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, 1989. — 287 с.

6. Карпеченко Е. Тайны чисел. Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

7. Крылов А.Н., Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 - 1994

8. В работе использованы картинки и фотографии по запросу "Поиск картинки" в Internet.

Приложение 1. Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.

Математика – наука о структурах, так определяют математику современные ученые. Есть и другие определения математики: совокупность наук изучающих величины, количественные отношения, а также пространственные формы. Математика состоит из нескольких математических величин, каждая из которых определяется как наука: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей…

Числа … Мы сталкиваемся с ними на каждом шагу, они сопровождают нас от рождения и до последних дней. Без них мы не мыслим своей жизни. Среди всех чисел выделяются некоторые особые числа – совершенные.

О совершенных числах написано много, но самих их найдено мало – всего 24.

С 1952 года в поиски совершенных чисел включились вычислительные машины. И если первое совершенное число 6 однозначно, то двадцать четвёртое имеет свыше 12000 знаков.

Впрочем, Евклид не только нашёл эти два совершенных числа, но и дал ключ к поискам всех чётных совершенных чисел. Он доказал, что чётное совершенное число имеет вид 2n-1(2n-1), если n – простое и 2n-1 тоже простое.

Вспомним древнюю историю о персидском царе и создателе шахматной игры. Восхищённый игрой в шахматы, царь предложил автору самому себе выбрать награду. Тот, на первый взгляд, изъявил очень скромное желание, попросив на первую клетку шахматной доски положить одно зерно пшеницы, на вторую – два зерна, на третью – четыре и таким образом заполнить все 64 клетки. Оказалось, что число зёрен в последней клетке равно 9223372036854775808, а удвоенное это число без единицы равно суммарному числу зёрен на доске. Написав в каждой клетке шахматной доски число зёрен, и забрав из каждой клетки по одному зерну, увидим, что оставшееся в клетке число зёрен определяется выражением 2n-1. если это число простое, то умножив его на число зёрен в предыдущей клетке, то есть на 2n-1, получим совершенное число. Простые числа ряда 2n-1 называют числами Мерсенна по имени французского математика семнадцатого века, занимавшегося их изучением. В 1644 году Мерсенн нашел восьмое совершенное число и заявил, что числа 2n-1 просты при n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и непросты при остальных сорока четырёх простых n, меньших 257. Лишь около 250 лет спустя замечательный русский математик из Пермской губернии Иван Михеевич Первушин в 1883 году доказал, что число 261-1 простое, а ведь 61 не значилось в списке Мерсенна. Тем самым он нашел девятое совершенное число.

Всё совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Пифагореец Ямблих в своём сочинении о совершенных числах написал, что от мириады (десяти тысяч) до мириады мириад содержится лишь одно такое число, от мириады мириад до мириады мириад мириад ещё одно и т.д. Проведённая в XIX веке проверка показала, что совершенные числа встречаются ещё реже. От числа 1020 до числа 1036 нет ни одного совершенного числа, хотя по Ямблиху их должно быть четыре.

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведёт к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир прекрасен, что сотворён создателем за шесть дней. А вот род человеческий не совершенен ибо произошёл от несовершенного числа восемь. Ведь именно восемь людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Но в нём спаслись семь пар чистых животных и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. руки человеческие можно объявить совершенным орудием, так как в десяти пальцах находится 28 фаланг. Очень высоко ценили совершенное число 6 Пифагор и его последователи. Они считали это число психогоническим, при возведении в третью степень дающим промежуток в 216 лет между двумя перевоплощениями человеческой души. Геометрическим символом, соответствующим числу 6, является шестиконечная звезда – гексаграмма.

Если начертить квадрат и провести в нём диагонали, то можно заметить, что вершины квадрата соединены шестью отрезками, но ведь 6 – число совершенное. Теперь чертим куб и проводим все возможные диагонали. Получается 12 рёбер, 12 диагоналей граней, 4 диагонали куба. Их сумма равна 28. Если начертить тетраэдр, то его вершины соединены шестью рёбрами. В восьмиугольнике 20 диагоналей. прибавим к ним восемь сторон, получим совершенное число 28. продолжая поиски обратимся к семигранной пирамиде. У неё 7 рёбер, 7 сторон основания, а у основания 14 диагоналей. И всё это вместе составляет совершенное число 28.

Рассмотрим эту задачу в общем виде. Число отрезков, соединяющих попарно n точек (в данном случае вершин), равно n(n-1):2. Если число этих точек n = 2р, где р - простое число, 2р-1 тоже простое, то получим 2р(2р-1):2 или 2р-1(2р-1). Это известная формула Евклида для множества чётных совершенных чисел.

Таким образом, если в пространстве или на плоскости разбросать 2р точек, так что ни какие три точки не лежат на одной прямой, то число отрезков, соединяющих попарно все эти точки, будет числом совершенным.

Каждое совершенное число есть сумма вида 1 + 2 + 3 + 4 + … + n. Каждое совершенное число, за исключением 6, есть частичная сумма ряда из кубов нечётных чисел: 13 + 33 + 53 + … . Вот ещё одно свойство совершенных чисел: сумма обратных значений делителей совершенного числа, включая и само число как делитель, всегда равна двум. Так, для числа 28 имеем 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.

Аннотация к презентации

Смотреть презентацию онлайн на тему "Таинственная история совершенных чисел" по математике. Презентация состоит из 15 слайдов. Материал добавлен в 2017 году.. Возможность скчачать презентацию powerpoint бесплатно и без регистрации. Размер файла 0.63 Мб.

Содержание

Таинственная история СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Перестаньте отыскивать интересные числа! Оставьте для интереса хотя бы одно неинтересное число! Из письма читателя Мартину Гарднеру

Слайд 2

Что такое совершенное число?

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Слайд 3

Слайд 4

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий, дескать, несовершенен, ибо произошел от несовершенного числа 8. Ведь именно 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Надо бы возразить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. Да и вообще легко обнаружить множество подобных совпадений. Например, руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг…

Слайд 5

Сколько же их? Первым совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. До последнего времени именно столько членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел: каждое из них равно сумме всех их собственных делителей: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Слайд 6

До Евклида (знаменитый древнегреческий математик III в. до н. э. ) были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2^(p -1) и (2^p) - 1, где второе - простое число, является совершенным числом. Если в формулу Евклида подставить p=2, то получим 2 х 3 = 6 - первое совершенное число, а если p=3, то 2^(3-1) х (2^3)-1 = 28. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p=5 и четвертое при p=7. Вот эти числа: 496 и 8128. Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида. Эйлер впоследствии доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Дальнейшие поиски оказались более сложными.

Слайд 7

Следующее, пятое совершенное число было найдено лишь полторы тысячи лет спустяв пятнадцатом веке немецким математиком Региомонтаном, оказалось, что и оно подчиняется условию Евклида и равно 33 550 336. В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8589869056 и 137438691328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. Однако на этот счет есть еще информация.

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

В начале XX в. были найдены еще 3 совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин. Первушин считал без всяких вычислительных приборов.

Слайд 11

В 1971 г. за 40 минут работы мощная ЭВМ нашла наибольшее на тот период времени простое число вида : , которому отвечало 24-е совершенное число: . В 1978 г. ЭВМ уже работала 440 часов, чтобы дойти к следующему простому числу : . Ему отвечает 25-е совершенное число: . В 1980 г. с помощью ЭВМ удалось вычислить 27-е простое число . Ему отвечает 27-е совершенное число . До середины XX века обнаружено еще семь таких чисел. С 1952 года в поиски включились электронно-вычислительные машины. И если первое совершенное число (6) однозначно, то двадцать четвертое содержит уже свыше 12 000 знаков.

Слайд 12

Эти числа скрывают и сегодня много загадок. Неизвестно, ограничено или бесконечно их множество. Все открытые совершенные числа парные. Ученые доказали, что может быть не меньше 1036 непарных совершенных чисел, но ни одного из них ещё не нашли. Считают, что даже наименьшее из непарных совершенных чисел может быть чрезвычайно большим. Возникают и другие вопросы, ответа на которые ищет много математиков. На октябрь 2008 г. известно 46 чётных совершенных числа, поиском новых таких чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS. Почти все последующие совершенные числа выдерживают только евклидову форму записи. Хочется добавить…

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Читайте также: