Степенные функции в гуманитарных науках доклад по алгебре
Обновлено: 05.07.2024
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Именно функция является тем средством математического языка,
которое позволяет описывать процессы движения,
Математика – один из моиx самых любимых предметов. Я считаю, что ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Одним из инструментов описания реального мира является функция.
Современная математика знает множество функций, и у каждой своей неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле.
Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов.
Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.
Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций.
На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.
На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.
Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.
Исслeдовать и изучить связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.
Исходя из цели, я поставил перед собой следующие задачи:
Узнать историю происхождения функций;
Найти и рассмотреть функции, которые существуют в нашем мире;
Установить связь математических функций с другими науками;
Выяснить, как часто в практической деятельности и природе человек может использовать функции и их свойства и, каким образом это позволит улучшить качество жизни людей.
сбор материала, работа с литературой,, анализ, обобщение;
изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии).
анализ полученной информации (опыт, наблюдение, решение задач, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, обобщение);
опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.
Функции- неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.
Математические функции и их приложения.
Функциональные зависимости в окружающей жизни.
А чтобы проверить эту гипотезу мною была изучена и проанализирована дополнительная литература, а также был проведен опрос учащихся моего класса с целью выявления мнения о роли функции в жизни человека.
Практическая значимость проекта
Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.
2 Основная часть
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.
Что же такое функция?
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Функция – это не только математическое понятие, но и:
функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;
функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;
функция — возможность, опция, умение программы или прибора;
функция — обязанность, круг деятельности;
функция персонажа в литературном произведении;
функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.
Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.
Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.
С функцией мы встречаемся каждый день.
каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где данный ученик учится);
пришли в магазин, купить яблоки. Пусть их цена 200 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 5кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества яблок;
Изменение температуры в классе или на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.
Способы задания функций.
Существует несколько способов задания функций:
с помощью графов.
Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
1. Табличный способ.
При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.
Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.
Недостатки: 1. Обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.
2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.
Понятие переменной величины. Применение степенной функции с различными показателями. Обобщение степенной функции, ее свойства с отрицательным нечетным целым показателем. Характеристика основных свойств и особенностей построения графиков степенных функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.05.2018 |
| Размер файла | 695,7 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ЛИЦЕЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Степенная функция
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
Проверил учитель математики
Введение
Во время всего школьного курса мы сталкиваемся с функциями и графиками. До 10 класса - это простые функции, в 10 классе изучаются сложные функции, однако, им уделяется не так уж много внимания.
Цель работы: изучить все представленные виды степенной функции и рассмотреть их использование человеком.
1. Степенная функция с целым четным показателем
Степенные функции с четным показателем можно поделить на функции с положительным и отрицательным показателем степени. От этого зависит большинство её свойств.
1.1 Какие функция называют степенными с четным натуральным показателем?
Если показатель степени равен натуральному четному числу, то такую функцию можно назвать степенной с четным натуральным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = x 2 n , где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x 2 , y=x 8 , y=x 138 .
график степенной функция отрицательный
График таких функций похож на параболу, которая впрочем является частным случаем подобных функций.
1.2 Свойства степенных функций с четным положительным показателем
1) Область определения: .
2) Область значений: .
3) Функция четная, так как .
4) Функция возрастает при , убывает при.
5) Функция вогнутая при .
6) Точек перегиба нет.
8) Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).
1.3 Какие функции называют степенными с четным отрицательным показателем?
Если показатель степени равен отрицательному четному числу, то такую функцию можно назвать степенной с четным отрицательным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х -2n , где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x -2 , y=x -8 , y=х -138 .
1.4 Свойства функций с отрицательным четным показателем
1) Область определения: . прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
2) Область значений: .
3) Функция четная, так как .
4) Функция возрастает при , убывает при.
5) Функция вогнутая при.
6) Точек перегиба нет.
7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
8) Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).
2. Степенные функции с нечетным целым показателем.
2.1 Какие функции называют положительными с нечетным показателем степени?
Если показатель степени равен положительному нечетному числу, то такую функцию можно назвать положительной с нечетным целым показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х 2 n -1 , где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x 3 , y=x 9 , y=х 139 . График таких функций похож на график кубической функции, которая впрочем является частным случаем.
2.2 Свойства функции с нечетным целым положительным показателем
1) Область определения: .
2) Область значений:.
3) Функция нечетная, так как.
4) Функция возрастает при.
5) Функция выпуклая прии вогнутая при(кроме линейной функции).
6) Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
8) Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).
2.3 Какие функции называют степенными с нечетным отрицательым показателем?
Если показатель степени равен отрицательному нечетному числу, то такую функцию можно назвать степенной с нечетным отрицательным показателем. Общая формула для таких функций выглядит как y = х -2n-1 , где n - любое натуральное число. Примерами таких функций могут служить y = x -3 , y=x -9 , y=х -139 .
2.4 Свойства Степенной функции с отрицательным нечетным целым показателем
1) Область определения: . прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
2) Область значений: .
3) Функция нечетная, так как .
4) Функция убывает при .
5) Функция выпуклая при и вогнутая при.
6) Точек перегиба нет.
7) Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0
8) Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).
3. Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем
Область определения этой функции есть множество неотрицательных чисел, область значений -- тоже множество неотрицательных чисел.
Правила вычисления значений функции по значению переменной довольно сложны, для этой функции составлены специальные таблицы. Впрочем, можно использовать для поиска ее значений таблицы квадратов чисел.
3.1 Показатель больше ноля и меньше единицы
3.1.1 Примеры
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .
При других значениях показателя степени a, графики функциибудут иметь схожий вид.
3.1.2 Свойства
1) Область определения: .
2) Область значений: .
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
4) Функция возрастает при .
5) Функция выпуклая при .
6) Точек перегиба нет.
8) Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
3.2 Показатель больше единицы
3.2.1 Примеры
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем.
Приведем графики степенных функций, c степенями равными 5/4, 4/3, 7/3, 3p соответственно.
3.2.2 Свойства
1) Область определения: .
2) Область значений:.
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
4) Функция возрастает при .
5) Функция вогнутая при , если; при, если.
6) Точек перегиба нет.
8) Функция проходит через точки (0;0), (1;1).
3.3 Показатель больше -1 и меньше 0
3.3.1 Примеры
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций cо степенями равными -5/6, -2/3, -1/7, -1/8 1/2 соответственно.
3.3.2 Свойства
1) Область определения: х=0 является вертикальной асимптотой.
2) Область значений: .
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
4) Функция убывает при .
5) Функция вогнутая при .
6) Точек перегиба нет.
7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
8) Функция проходит через точку (1;1).
3.4 Показатель меньше -1
3.4.1 Примеры
Приведем примеры графиков степенных функций при соответственно.
3.4.2 Свойства
1) Область определения: х=0 является вертикальной асимптотой.
2) Область значений: .
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
4) Функция убывает при .
5) Функция вогнутая при .
6) Точек перегиба нет.
7) Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
8) Функция проходит через точку (1;1).
3.5 Обобщение степенной функции
Степенная функция - функция вида , где - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .
Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба есть степенная функция от (длины его ребра): ; период колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление и объем связаны формулой (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.
При любом показателе степени показательная функция определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если - натуральное число , то функция определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном и нечетная при нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичныхс тепенных функций с целым положительным показателем:(кубическая парабола) и (парабола четвертой степени). При степенная функция является линейной функцией, при - квадратичной функцией .
4. Применение степенной функции
4.1 Применение функции с целым четным показателем
Квадратичную функцию используют в самых разных областях человеческой физики, таких как например баллистика или оптика, расчет потенциальной энергии.
4.2 Применение функции с нечетным целым показателем
Во времена второй мировой войны Гиперболы применялись для определения местоположения. На двух радиостанция одновременно испускалось два радиосигнала, человек определяющий своё местоположение расчитывал время между приходом каждого из этих дух сигналов, после чего строил на карте две гиперболы. Местом их пересечения и было его дислокация.
4.3 Применение степенной функции с различными показателями
Возможно применение некоторых графиков степенных функций для визуализации зависимости температуры от размера звезд:
Заключение
Рассмотрев многие виды степенных функций мы лучше запомнили их свойства и значение в нашей жизни.
Проследив за сферами применения степенной функции, мы можем заметить что они практически не встречаются в животном мире. Большинство из них человек или использует благодаря выведению из математических формул, исследованию далекого космоса или невидимого глазу спектра.
На сегодняшний день это для нас является актуально и интересно, так как впервые об этой теме мы услышали на уроке математики, познакомившись с понятием функция.
Далее нам стало важно знать: каковы области применения математических функций? Какую роль играют математические функции в точных и естественных науках? Что связывает математические функции с историей и филологией?
И возможно ли определить траекторию полёта космических тел? Построить график пословицы? Задать функцию потребительского спроса?
И решили задачи: подобрали и проанализировали соответствующую литературу и интернет-источники; нашли определение функции в школьной программе; Рассмотрели применение функции в точных и естественных науках; Рассмотрели применение функции в истории и филологии; Показали применение функции в жизни человека.
Мы убедились в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| vystuplenie.zip | 2.42 МБ |
Подписи к слайдам:
Определение функции в школьной программе
7 класс
Линейная функция:
,
8 класс
Квадратичная функция:
,
класс
Дробно-линейная функция:
Степенная функция:
10-11 класс
Числовая функция:
,
Фазы звуковой волны.
Звук, колебания за просторами Земли.
Линейная функция
Применение функции
в повседневной жизни человека
каковы области применения математических функций?
какую роль играют математические функции в точных и естественных науках?
что связывает математические функции с историей и филологией?
.
Применение
функции
Применение функций в точных науках
Графики зависимости физических величин,
Звёздный график, Отображение
звуковых волн с помощью периодической функции.
С помощью гиперболических функций описывается прогиб каната, зона слышимости звука пролетающего самолета
Логарифмическая функция
Пример изображения исторических закономерностей.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Степенные функции, их свойства и графики"
· рассмотреть степенные функции;
· рассмотреть свойства и графики степенных функций, в зависимости от основания.
Определение.
Степенными функциями называют функции вида:
Случаи, когда r – натуральное или целое число мы с вами уже изучали.
Давайте повторим основные моменты.
Сегодня на уроке мы познакомимся с функцией:
Для начала рассмотрим случай, когда показатель степени больше 0. Этот случай можно разбить ещё на два: когда показатель степени находится в (0; 1) и когда показатель степени больше 1.
Первым рассмотрим случай, когда показатель степени находится в промежутке (0; 1).
Рассмотрим частный случай такой степенной функции:
Как выглядит график этой функции, мы знаем.
Точно так же будут выглядеть графики любой степенной функции вида:
По графику мы очень просто можем записать основные свойства таких функций.
Областью определения будет являться луч [0; +∞).
Областью значения является промежуток [0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция возрастает на всей области определения.
Она не ограничена сверху, но ограничена снизу.
Наименьшее значение равно 0, а наибольшего значения нет.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вверх на всей области определения.
Теперь рассмотрим степенную функцию, показатель которой – любое рациональное число больше единицы.
Графиком функции будет ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1), причём чем больше показатель, тем круче будет идти график.
Запишем основные свойства функции.
Областью определения является луч [0; +∞).
Область значений – это промежуток (0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция возрастает на всей области определения.
Функции не ограничена сверху, но ограничена снизу.
Наименьшим значением будет 0, наибольшего значения нет.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вниз на всей области определения.
Теперь рассмотрим функцию:
Сегодня мы уже с вами вспоминали как выглядит график функции y = x - n , в случае натурального эн. Поскольку степень с рациональным отрицательным показателем рассматривается на интервале (0; +∞), то график функции y = x r , если r – это отрицательное рациональное число будет похож на ветвь гиперболы и проходить через точку (1; 1).
График имеет горизонтальную асимптоту игрек равно нулю и вертикальную асимптоту икс равно нулю.
Запишем основные свойства функции.
Областью определения будет промежуток (0; +∞).
Областью значения будет промежуток (0; +∞).
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Функция убывает на всей области определения.
Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Функция не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения.
Функция непрерывна на всей области определения.
График функции выпуклый вниз на всей области определения.
Обратите внимание, что при рассмотрении функций мы нигде не проверяли функцию на дифференцируемость. Прежде чем говорить о дифференцируемости давайте посмотрим, как находится производная таких функций.
Производную функции игрек равно x в натуральной степени эн мы знаем, это табличное значение.
Чему равна производная функции x - n , в случае натурального n, найти нетрудно:
Эти две формулы можно объединить в одну:
Ещё одним табличным значением является производная функции:
Эту формулу можно записать следующим образом:
Если x > 0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле:
Поскольку производные данных функции существуют на всей области определения, то в свойства можно дописать, что функции дифференцируемы на всей области определения.
Читайте также: