Софизмы и парадоксы в математике доклад

Обновлено: 25.06.2024

Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Работу подготовили: студентки 2 курса ГБОУ РХ СПО Хакасского политехнического колледжа Стяжкина Анастасия и ШишигинаИрина

Научный руководитель: Овчарук Любовь Павловна

Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в нашей работе Математические софизмы

"Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случая

сделать его немного занимательным".

Софизмы имеют четкое логическое объяснение. Кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.

Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука. Надеемся, что наш проект будет интересен и принесёт пользу ребятам.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что:

Наше общество развивается большими темпами.

Для развития производства требуются техники, инженеры, ученые, знания которых базируются на точных науках: математике, физике, химии.

И эти науки надо не только знать, но и понимать.

Мы считаем, что софизмы развивают логику мышления, помогают лучше усвоить и разобраться в математике, прививают навыки правильного мышления.

Поэтому мы выбрали эту тему.

Основная гипотеза проекта

Если неточно знать формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, а также не анализировать построение чертежа к геометрической задаче, то можно получить абсурдные результаты, противоречащие общепринятым представлениям.

Цель нашей работы:

Познакомиться с софизмами, показать значимость математических софизмов

при изучении математики, показать как получаются абсурдные выводы. Важно четко понимать допущенные ошибки, иначе софизмы будут бесполезны.

Задачи:

классифицировать различные виды софизмов;

понять, как найти ошибку в софизмах;

составить компьютерную презентацию.

Методы исследования:

Анализ и контроль полученных результатов, классификация софизмов;

Демонстрация полученных результатов в презентации;

Выступление на конференции.

Понятие софизма

Софизм - (от греческого sophisma – уловка,

ухищрение, выдумка, головоломка),

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, решение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.

Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Мы проанализировали софизмы и выделили типичные ошибки в софизмах. Это:

неточное использование условий теорем, формул и правил,

опора на ошибочные умозаключения.

Нередко, ошибки, которые допускают в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но, тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах.

Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения.

Работая над проектом, мы обнаружили интересную формулу успешности софиста! *

Успешность софизма определяется несколькими составляющими:

a + b + c + d + e + f,

где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика,

(b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.

а - отрицательные качества лица (нет развития способности управлять вниманием).

b - положительные качества лица (способность активно мыслить)

с - аффективный элемент в душе искусного диалектика

d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления

е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика

f - пассивность слушателя

Песенка, сочинённая английским студентом

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия.

Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле.

Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста- представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. В Греции софистами называли и простых ораторов.

Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать их учение. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).

Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным, его и по сей день считают самым мудрым философом.

Математические софизмы

Разбор и решение нестандартных математических задач помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам.

Однако следует помнить, что в математике важна аккуратность. Каждый шаг от одной логической конструкции к другой должен быть точным, тщательно выверенным. Один неверный переход может привести не просто к неточности, а к большой ошибке.

Мы предлагаем Вам вместе с нами попытаться разобраться с этим.

В нашей работе мы рассмотрим три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.

Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

перемножая эти равенства почленно, получим

10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

которое после деления на 10 дает

1 р. = 10 000 коп.,

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Извлекая квадратный корень из равенства1 р. = 10 000 коп. получаем верное равенство 1р.=100 коп.

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a ∙ a=2db-b ∙ b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны, они могут быть противоположными.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Цель проекта - нахождение математических задач, приводящих к парадоксам, исследование решения этих задач, нахождение ошибок, подготовка презентации по теме для использования на уроках математики.

Исследовательский

проект по математике

учитель математики Струева Светлана Ивановна.

Задача, которая заинтересовала меня 3

Что такое "софизм" и "парадокс"? 4

Экскурс в историю 5

Классификация математических неожиданностей 5

Алгебраические софизмы 6

Геометрические софизмы 7

Арифметические софизмы 7

Логические софизмы 8

Многообразие парадоксов 9

Парадокс разности квадратов 9

Парадокс парикмахера 9

Основные типы геометрических парадоксов 10

"Невозможный треугольник " 10

"Бесконечная лестница" 10

"Космическая вилка " 11

"Сумасшедший ящик" 11

Имп-Арт - искусство парадоксальных картин 12

Практическая значимость 14

Список литературы 15

После того, как учительница на уроке алгебры дала решение одной задачи и мы пришли к некоторому так называемому софизму, меня заинтересовали математические неожиданности, которые возникают при решении некоторых задач. Возникло предположение, что такие неожиданности подстерегают нас не только в алгебре, но и в арифметике, и в геометрии.

Применение софизмов и парадоксов на уроках математики могли бы, на мой взгляд, разнообразить уроки математики и вызвать интерес учащихся к этому предмету.

Цель проекта: найти математические задачи, приводящие к парадоксам, исследовать решение этих задач, найти, где скрыты ошибки, подготовить презентацию по этой теме для использования на уроках математики.

в чём их отличие;

классифицировать математические неожиданности;

научиться находить ошибки в готовых решениях математических задач;

определить практическую значимость исследования

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Задача, которая заинтересовала меня

"Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. "

Представим, что а дм – длина спички и b дм – длина столба. Пусть разность между b и a равна c .

b - a = c, b = a + c.

Перемножим левые и правые части этих равенств, получим:

b 2 - ab = ca + c 2 .

Из обеих частей вычтем bc. Получим:

b 2 - ab - bc = ca + c 2 – bc

b(b - a - c) = - c(b - a - c)

Откуда вытекает, что

b = - c, но c = b – a

b = a - b, или a = 2b.

Ответ: В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на

(b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0, а на нуль делить нельзя. Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Что такое "софизм" и "парадокс"?

История математики полна интересных и неожиданных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова).

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., которые достигли большого искусства в логике.

Классификация математических неожиданностей

Разбор и решение разнообразных математических задач, особенно нестандартных, помогает развивать логику и смекалку. Именно к таким задачам относятся математические софизмы. В этом разделе работы я рассмотрю четыре типа математических софизмов: алгебраические, геометрические, арифметические и логические.

4.1. Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки наряду с арифметикой и геометрией. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Один из алгебраических софизмов уже был мною рассмотрен ранее. Приведём ещё пример: Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами: цифра десятков на 4 меньше цифры единиц, а если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначим цифру десятков через х, а цифру единиц - через у.

Составим систему уравнений:

Во второе уравнение подставим значение х из первого, получим:

а после преобразований:

Х и у мы найти не смогли, зато мы узнали, что 36=27. Что это значит?

Это означает, что не существует двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, и что уравнения, которые мы составили, противоречат друг другу.

Геометрические софизмы

"Катет равен гипотенузе"

Угол С равен 90˚, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, прямая ОК перпендикулярна СА, ОК и ВД пересекаются в точке О, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Получаем, что треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК равен углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL. Получаем, что ВА = ВС.

Где же ошибка?

Ошибка заключается в том, что рассуждая о том, что катет равен гипотенузе, мы опирались на ошибочный чертеж, так как точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

" Дважды два - пять! "

Рассмотрим следующее очевидное равенство в качестве исходного соотношения: 4:4= 5:5 (1)

Вынесем за скобки общий множитель из каждой части равенства, получим:

Зная, что 1:1=1, устанавливаем из соотношения (2):

Где же ошибка?

В равенстве (2) 4 и 5 не являются множителями, которые мы вынесли за скобки.

Логические софизмы

"Софизм учёбы"

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

"Софизм Кратила"

Диалектик Гераклит, провозгласил тезис "все течет" и пояснил, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку (образ природы), ибо, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. А его ученик Кратил, из утверждения своего учителя сделал такие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, потому что пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

Многообразие парадоксов

5.1. Парадокс разности квадратов

1) Имеем равенство а² - а² = а² - а²;

2) В левой части вынесем общий множитель за скобки, а в правой воспользуемся формулой разности квадратов а(а - а) = (а + а)(а – а);

3) Разделим обе части на (а – а), получим а = а + а;

Парадокс парикмахера

Кажется, что не может, так как это запрещено указом.

Но наряду с этим, если он не бреет себя, то попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Основные типы геометрических парадоксов

Первую невозможную фигуру в 1934 году изобразил шведский художник Оскар Реутерсвард.

Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках, одной из них стал и "невозможный треугольник".

Эту фигуру называют еще "Лестницей Пенроуза" (по имени ее создателя), а также "Вечной лестницей" или "Непрерывно восходящей и нисходящей тропой".

Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

А этот невозможный объект с тремя (или двумя?) зубцами в 1964 году стал популярен у инженеров и любителей головоломок.

"Сумасшедший ящик"

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко.

"Сумасшедший ящик", как и многие другие невозможные объекты, основан на неправильных соединениях, которые допущены при рисовании.

Имп-Арт - искусство парадоксальных картин

Многие известные художники рисовали работы, в основе которых лежали геометрические парадоксы. Эти работы выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - "имп-арт", от английских слов impossible ("невозможный") и art ("искусство").

Чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении, художнику требуется определённое мастерство. Слова М.К. Эшера "Рисовать – значит обманывать" исполнены глубокого смысла. Именно "невозможные фигуры" дают почувствовать масштабы этого обмана.

Литография М.Эшера "Водопад" основана на фигуре "невозможного треугольника". Здесь два "невозможных треугольника" соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, которая работает по типу вечного двигателя и нарушается закон сохранения энергии.

Художник М. Эшер в своей литографии "Восхождение и нисхождение" в 1960 году с успехом воспользовался "Бесконечной лестницей".

"Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи движутся непрерывно по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они по невозможному пути идут навстречу друг другу. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.

В знаменитой гравюре М. Эшера "Бельведер" (1958 год) сидящий мальчик держит "невозможную коробку", которая была непосредственным предшественником "сумасшедшего ящика". Предшественником же невозможной коробки Эшера был, в свою очередь, "куб Неккера".

Итак, в процессе работы:

я узнал, что называется "софизмом "и "парадоксом", и в чём их отличия;

проклассифицировал софизмы в соответствии с разделами математики, к которым они принадлежат;

рассмотрел четыре основных вида геометрических парадоксов, которые вызвали у меня особый интерес, так как нашли своё отражение в имп-арт – искусстве парадоксальных картин.

Практическая значимость

Работая над софизмами, я научился находить ошибки в неверных решениях, например, с осторожностью отношусь к делению на выражение (не равно ли оно нулю?). В геометрических задачах, в первую очередь, обращаю внимание на то, правильно ли сделан рисунок. Я знаю, что на олимпиадах и на ОГЭ по математике мы встречаемся с логическими задачами. После работы над данной темой мне они стали даваться легче.

Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его на уроках, чтобы привить интерес учащихся к предмету. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Список литературы

А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математические софизмы", Москва, "Просвещение", 2003г.

Энциклопедический словарь юного математика.

Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. "Ошибки в математических рассуждениях".

Перельман Я. И. " Занимательная математика".

Аменицкий Н. "Математические развлечения и любопытные приёмы мышления". М.,1912г.

Богомлов С. А. "Актуальная бесконечность " М.; Л., 1934г.

Горячев Д. Н., Воронец А. Н. "Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики", М., 1903.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

XIV городская конференция проектных и исследовательских работ школьников г. Искитима

Предметная область: точные и финансовые науки

Возрастная группа: средняя

Софизмы и парадоксы в математике

Авторы Мердышева Полина, Волкова Софья

МБОУ СОШ №14, 7 б класс

Самойленко Анна Григорьевна,

В математических вопросах нельзя

пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.
И. Ньютон

Подавляющее большинство людей размышляют и рассуждают, не обращаясь за помощью к особой науке, называемой логикой.

Интуитивно законы мышления известны каждому. Всякое движение мысли, постигающей истину и добро, опирается на эти законы и без них невозможно.

Вся наша жизнь - это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильного, логического, разумного рассуждения становится всё сложнее и сложнее жить.

После того, как наш учитель на уроке алгебры доказала нам, что 2=3, мы задумались: в чём здесь подвох? Мы не могли согласиться с этим, но не смогли и опровергнуть. Нас это заинтересовало, так как стало понятно, что некоторые заведомо ложные утверждения, оказывается, можно доказать. Позже педагог рассказала нам о существовании софизмов и парадоксов, которые развивают логику, помогают лучше разобраться в математике, прививают навыки правильного мышления.

Актуальность:

Наше общество развивается большими темпами, и все больше требуются инженеры, техники, ученые, знания которых базируются на точных науках, таких как, математика, физика, химия. Эти науки надо не только знать, но и понимать.

Для лучшего усвоения математики существуют софизмы. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Эта тема сейчас актуальна, ещё и потому что софизм - это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью этого люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад. Софизмы и парадоксы часто используют, например, в рекламе. И чтобы не попасться на уловки, нужно научиться отличать истину от обмана.

Цель: знакомство с софизмами и парадоксами на основе собственного исследования

Классифицировать данные понятия;

Провести анализ использования заданий с софизмами и парадоксами в учебной деятельности;

Определить практическую значимость исследования.

Новизна: знакомство с новыми для нас понятиями

- сбор нужного материала по данной теме;

- систематизация и обобщение результатов исследования;

- метод сбора, анализа и обобщения информации.

1. Основная часть

1. 1 Софизмы

Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни: в математике, в экономике, философии, в логике и риторике.

1.1.1 История возникновения софизмов

Используя различные источники информации (энциклопедии в школьной библиотеке, словари, интернет-ресурсы), мы изучили историю возникновения софизмов. Итак, мы узнали, что софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т.д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложные умозаключения. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.

Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т.е. в мышлении.

В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.

1.1.2 Классификация софизмов

Математические софизмы делятся на 4 вида: алгебраические, геометрические, логические и арифметические. Мы рассмотрели некоторые из них. Все представленные примеры мы попытались решить сами. Понять софизм, то есть решить его, получалось не сразу. Поначалу, приходилось много раз их внимательно перечитывать, вдумываться и всматриваться, т.е. выискивать подвох, ошибку.

1.1.3. Арифметические софизмы

Попытаемся доказать, что 5=6. С этой целью возьмём числовое равенство:

вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки).

Получаем 5=6. Верно? Нет. В чём ошибка?

(7+2-9=0. На ноль делить нельзя).

Имеем числовое равенство (верное): 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.

Числа в скобках равны, поэтому 4=5, или 2=5. Где ошибка?

(Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1) ).

Возьмем верное равенство:

Возведем его по частям в квадрат, получим:

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

(Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

1.1.4. Алгебраические софизмы

Алгебраические софизмы: намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Докажем, что число 0 (нуль) больше любого числа а.

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно большое положительное число. Ясно, что а - 1

Умножим обе части этого неравенства почленно на - а, получим:

Прибавив к обеим частям полученного неравенства по а 2 , получим: - а 2 + а + а 2 2 + а 2 , то есть а

Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число а меньше.

(Умножая на отрицательное число, знак неравенства меняем на противоположный)

1.1.5. Логические софизмы

Логические софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:

Рассмотрим стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Где ошибка?

(Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно).

Данным софизмом является песенка,

Сочиненная английскими студентами:

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Это стихотворение можно смело назвать логическим софизмом или мечтой каждого ученика!

1.1.6. Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость или утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Софизм об исчезающем квадрате.

Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата (рис. 1).

Если четырёхугольники развернуть (рис. 2), то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.

В чём же тут ошибка?

Посмотрим внимательно на ход действий.

Одинаковая ли площадь у обоих квадратов? Нет, так как сторона и площадь нового квадрата меньше стороны и площади того, который был вначале. При решении данного софизма мы воспользовались разрезанием этого квадрата, сложив части, и сравнив с исходным квадратом, получили, что он действительно становится меньше.
2. Парадоксы

Парадокс - (от греческого para – против и doxa – мнение) – противоречивое высказывание. В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причем каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т.е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь.

2.1 Классификация парадоксов

Изучая и анализируя информацию по теме парадоксов, мы пришли к выводу, что в настоящий момент существует немало их классификаций и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы – это как попытаться объять необъятное. Они существуют повсюду и являются неотъемлемой частью любой науки. В электронной энциклопедии Wikipedia мы нашли 13 классификаций парадоксов, а М.М. Новосёлов предлагает выделить 8 видов. Мы же рассмотрим геометрические и логические парадоксы 2 .

2.1.1 Геометрические парадоксы

Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках (рис. 4), одной из них стал и "невозможный треугольник".

Эту фигуру называют еще "Лестницей Пенроуза" (по имени ее создателя), а также "Вечной лестницей" или "Непрерывно восходящей и нисходящей тропой" (рис.5).

А этот невозможный объект с тремя (или двумя?) зубцами в 1964 году стал популярен у инженеров и любителей головоломок. Мы так и не пришли к общему мнению: два или три зубца изображено на картинки? (рис. 6)

" Сумасшедший ящик "

Это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко (рис. 7).

Парадокс парикмахера

Кажется, что не может, так как это запрещено указом.

Парадокс Лжеца

Этот древнегреческий логический парадокс

имеет множество вариаций. Мы приведём одну из них.

Он обманывает или говорит правду?

С одной стороны, он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает,

что он утверждает правду, а, следовательно, лжет.

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. (рис.8)

Ахиллес никогда не догонит черепаху

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние.

После изучения материала, мы выяснили, что парадоксы похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречиям. Главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеянии лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. Хотя в действительности связь софизма и парадокса более тонкая и сложная.

Практическая часть

Для определения готовности педагогов использовать на своих уроках задания, содержащие в себе софизмы и парадоксы, мы провели анкетирование, которое показало, что 25 % педагогов владеют информацией и оперируют данными понятиями, 65% заинтересовались данной темой и лишь 15% используют на своих уроках такие задания 80% уверенны, что использование таких заданий в учебном деятельности будет полезно для обучающихся.

Затем мы решили выяснить отношение опытных и начинающих педагогов к софизмам и парадоксам. Результаты нас очень удивили.

Первой, к кому мы пошли на беседу-интервью, стала Кошкарева Галина Фёдоровна – учитель математики с большим стажем (около 60 лет проработала в нашей школе). Было волнительно вести беседу с Галиной Фёдоровной, ведь она учила математике не только наших родителей, но и бабушек и дедушек. С первого вопроса о софизмах она приятно удивилась, что нас заинтересовала эта тема. Галина Федоровна использовала на уроках алгебры задачи, содержащие софизмы, а на геометрии задачи-парадоксы. Но особое внимание данной теме она уделяла при работе с детьми на математическом кружке. (Фото с педагогом см. Приложение 5).

Вторым человеком, к которому мы обратились, стала Кива Валентина Евгеньевна – молодой педагог (стаж работы 2 года). Она рассказала нам, что знает, что такое софизмы и парадоксы, но на своих уроках данный материал не использует.

Следующим нашим шагом стало исследования применения софизмов и парадоксов в повседневной жизни. Мы отправились в магазин, чтобы посмотреть на действующие акции, т.к. считаем, что это чистой воды софизм. Оказывается, что парадоксальные рекламы и фильмы мы видим с экранов телевизоров ежедневно, мы просто не обращаем на это внимания. Поэтому можно сделать вывод: софизмы и парадоксы вокруг нас!

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Мы выяснили, что понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые софизмы приходилось разбирать несколько раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Мы поняли, что софистика - это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.

Исследовать софизмы и парадоксы действительно очень интересно и необычно.

Благодаря этой теме можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои суждения и логические объяснения.

Работая над проектом, мы научились находить ошибки в неверных решениях, например, с осторожностью относимся к делению на выражение (проверяем: не равно ли оно нулю?). В геометрических задачах, в первую очередь, обращаем внимание на то, правильно ли сделан рисунок. Участвуя в олимпиадах и конкурсах по математике, мы постоянно встречаемся с логическими задачами. После работы над данной темой, нам они стали даваться легче.

Собранный нами материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его на уроках, чтобы привить интерес учащихся к предмету. Также рекомендуем ознакомиться с нашей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше.

Тема нашей работы далеко не исчерпана. Мы рассмотрели лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Мы продолжим изучение этой темы в дальнейшем.

Проблема: Мой любимый предмет – математика. Однажды на уроке математики нам учитель предложила рассмотреть решение однойзадачи, и мы пришли к некоторому так называемому софизму, меня заинтересовали математические неожиданности, которые возникают при решении некоторых задач. Как найти ошибки в доказательствах, рассуждениях в процессе решения нестандартных задач такого вида?

Цель: рассмотреть основные виды математических софизмов и парадоксов, причины их возникновения и восприятие учениками.

Познакомиться с софизмами и парадоксами

Изучить историю возникновения и их виды

Научиться распознавать ошибки в них

Сделать вывод по результатам проведенной работы.

Гипотеза исследования : математика без софизмов и парадоксов существовать не может.

Предмет исследования: Математические софизмы и парадоксы

Новизна: знакомство с новыми для нас понятиями

Методы, используемые при проведении работы: изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете, синтез полученной информации и ее анализ, анкетирование.

Актуальность темы заключается в том, что разбор софизмов и парадоксов прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Эта тема для меня очень интересная, развивающая познавательный интерес, любознательность к урокам математики. В школьном курсе математики не используются софизмы и парадоксы. Данный материал можно использовать на уроках математики, что расширит кругозор учащихся и покажет значение парадоксов и софизмови в области математики.

Для написания проекта я использовала различные пособия, энциклопедии по математике, а также использовались и Интернет-ресурсы.В ходе работы приходилось брать много информации из Интернета, справочной литературы.

2. Понятие софизма

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Софизмы связаны чаще всего как с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью его сделать надлежащие выводы, так и с его стремлением охватить то, что пока ему неподвластно. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или даже невежества, нежелающего признать своё бессилие и уступить знанию.

3. История возникновения софизмов

Софизмы появились ещё в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов – платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и особенно риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) всё, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приёмы.

Софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин "софизм" впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

Характерно, что для широкой публики софистами были также Сократ, Платон и сам Аристотель. Не случайно Аристофан в комедии "Облака" представил Сократа типичным софистом. В ряде диалогов Платона человеком, старающимся запутать своего противника тонкими вопросами, выглядит иногда в большей мере Сократ, чем Протагор.

Широкую распространенность софизмов в Древней Греции можно понять, только предположив, что они как-то выражали дух своего времени и являлись одной из особенностей античного стиля мышления.

Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э. С тех пор она продолжается до настоящего времени. Среди наших современников можно встретить немало людей, которые поддерживают софистов. "Сколько людей, столько и мнений", – говорят они. Однако и в нынешнюю эпоху есть те, которые вслед за Сократом считают, что, хотя мир и человек сложны и многогранны, тем не менее, нечто объективное и общезначимое существует, точно так же, как существует солнце в небе – одно для всех.

В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и прекрасная школа культуры математических вычислений.

4. Алгебраические и арифметические софизмы

Арифметика - наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Алгебраические софизмы - намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Докажем, что число 0 (нуль) больше любого числа а.

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно большое положительное число. Ясно, что а - 1 Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Докажем, что Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим:

b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc.

Получим : b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),

откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Ошибка: Ошибка заключается в том, что в выражении b(b-a-c )= - c(b-a-c) производится деление на 0

Логические софизмы

Логические софизмы - софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях. Они выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:

Полупустое и полуполное

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

" Софизм учёбы "

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.Так для чего учиться?

Понятие парадокса

Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным". Само греческое слово, от которого произведено слово "парадокс", буквально означало "необычное, странное, невероятное, замечательное".Парадокс в более узком и более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как "чистая математика" - абстрактная наука, построенная на теориях, которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом часто возникают ситуации, в которых рассуждения, применяющиеся совсем недавно и считающиеся строгими, будут требовать дополнительного обоснования. Тогда математик просто излагает свои идеи в том виде, как они у него возникают.

Многообразие парадоксов

Изучая и анализируя информацию по теме парадоксов, я пришла к выводу, что в настоящий момент существует немало их классификаций и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы – это как попытаться объять необъятное. Они существуют повсюду и являются неотъемлемой частью любой науки. Я решила рассмотреть более понравившиеся мне парадоксы.

Геометрические парадоксы

Задача про треугольник

Дан прямоугольный треугольник, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Для начала убедимся, что все фигуры совпадают. Они специально для этого раскрашены в разные цвета.Чем же различаются картинки? Зеленая фигурка осталась на месте, значит, ее выкинем из рассмотрения. Желтая сдвинулась, но не понятно, что это изменило, поэтому идем дальше. Треугольники поменялись местами.

Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках (рис. 2), одной из них стал и "невозможный треугольник".

Логические парадоксы

В одной деревне жил единственный парикмахер-мужчина. Здесь был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя?Кажется, что не может, так как это запрещено указом.Но наряду с этим, если он не бреет себя, то попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Этот древнегреческий парадокс имеет множество вариаций. Приведём одну из них.

Практическая значимость

Анализ учебников показал, что задания подобного типа встречаются редко.(Приложение 1)

После изучения материала, я выяснила, что парадоксы похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречиям. Главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеянии лжи. Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет . Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются двигателями науки.

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много. Я выяснила, что понять софизм как таковой получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни. Исследовать софизмы и парадоксы действительно очень интересно и необычно.

Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрела лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Я продолжу изучение этой темы в дальнейшем.

Список литературы

Проанализировав ответы на вопросы, мы получили следующие результаты:

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма

С понятием парадокс учащиеся сталкивались чаще, чем с понятием софизм.

3 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6. Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную математическую ошибку- 7+2-9=0. На ноль делить нельзя. С данной задачей справились 1 ученик5 а класса и 4 - 7 класса. При этом 10 учащихся все же нашли наличие ошибки в решении, но не указали ее точно.

4 вопрос: Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения

на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает,

что исходное уравнение не имеет корней. Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Ответом данной задачи было: Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0. Верно на этот вопрос ответили 1 5-классник и 4 7-классника, при этом наличие ошибки отметили 22 ученика обоих классов.

(Говорит правду/ Лжет/ Решить невозможно).

Читайте также: