Скалярное произведение векторов доклад

Обновлено: 05.07.2024

В физике и других естественных науках вектора часто перемножают друг с другом. Делать это можно разными способами, но чаще всего используется скалярное произведение.

План урока:

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

Если вектор а имеет координаты 1; у₁>, а координаты b– это 2; у₂>,то координаты их разности a – b будут записываться в виде 1 – х₂;у₁ – у₂>. С учетом этого (2) примет вид

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а и bx; – 6> окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

Мы вычислили координаты векторов: АВ и CD. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а и b.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Скалярным произведением двух векторов a → и b → будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Так как косинус угла в \(0\) градусов равен \(1\), то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Так как косинус угла в \(180\) градусов равен \(-1\) , то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

Так как косинус прямого угла равен \(0\) , то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно \(0\) .

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Так как в координатах a → = x a 2 + y a 2 и b → = x b 2 + y b 2 , то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

cos α = a → ⋅ b → a → ⋅ b → ; cos α = x a ⋅ x b + y a ⋅ y b x a 2 + y a 2 ⋅ x b 2 + y b 2 .

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

Скалярное произведение векторов – это действие над двумя векторами, результатом которого является число и оно не зависит от системы координат, а также характеризует длину векторов-сомножителей и угол между ними.

Скалярное произведение двух векторов (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Что такое скалярное произведение векторов

Скалярное произведение x двух векторов и (обозначается x ) называется число равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

На основании свойства 1 проекции (1): прl = ,^ уравнение запишется:

В физике работа постоянной силы при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути находится как скалярное произведение этих векторов:

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать свойства, рассмотрим их:

1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

2. Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

3. Для произвольных векторов , , :

4. Скалярное произведение 2 векторов и равняется нулю x тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны

Таблица скалярного умножения ортов. Согласно определению 1 x = x x аналогично x = , x , а по свойству (4) x = x = x =

Скалярное произведение векторов в координатной форме

При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) , тогда:

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

Находится как длина вектора = по формуле (4):

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

и выходит из свойства 4 и формулы (3):

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

Декартовые прямоугольные координаты вектора в базисе есть его проекциями на соответствующие оси координат.

Действительно, согласно формуле (9) получается:

пр = = = , пр = = , пр = = .

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора называются косинусы углов , созданные между вектором и координатными осями .

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Задача

Найти скалярное произведение векторов:

Решение

Исходя из формулы (3) у нас получается:

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Задача

Даны точки Найти скалярное произведение векторов .

Решение

Сначала найдём векторы:

Согласно формуле (3) получается:

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Задача

Для параллелограмма, построенного на векторах и вычислить:

длину сторон, то есть и ;
косинус и синус угла;
площадь.

Решение

Находим векторы тогда:

2) = = = = (угол – тупой), = = =

Задача

Найти модуль вектора = , если , , , ^ =

Решение

Согласно формуле (4) = . Находим = = = + = , тогда .

Задача

Найти направляющие косинусы вектора и значения выражения .

Решение

Проверим, что для произвольного вектора

Направляющие косинусы вектора полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора , что совпадает за направлением с , то есть:

Ответ

Скалярное произведение двух векторов (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Введем понятие угла между векторами – оно, как и многое на этом уроке, будет абсолютно аналогичным тому, что было на плоскости.

Пусть даны два вектора , . Отложим их от некоторой точки пространства: ; . Тогда угол между векторами – это угол . (См. Рис. 1.) Угол может быть прямым, тупым или острым.

Рис. 1. Угол между векторами

Если векторы сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Угол между сонаправленными векторами

Если угол между векторами равен , такие векторы называют перпендикулярными. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Перпендикулярные векторы

Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними . (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Угол между противоположно направленными векторами

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними: .

Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно (т. к. ). (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Случай, когда скалярное произведение положительно

Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно (т. к. ). (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Случай, когда скалярное произведение отрицательно

Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно (т. к. ). (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Случай, когда скалярное произведение равно

Важный момент: .

Произведение длин в координатах, мы уже искать умеем – знаменатель сможем преобразовать. А как преобразовать числитель?

Если ; , то . Формула аналогична плоскостной и доказывается точно так же.

Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами выглядит так:

И это очень важный момент. Теперь, если у нас даны две произвольные прямые, каждая задана двумя точками, мы можем найти соответствующие направляющие векторы этих прямых (см. Рис. 8) и посчитать косинус угла между ними по выведенной формуле.

Рис. 8. Угол между произвольными прямыми

Но не стоит забывать, что есть отличие между углом между векторами и углом между прямыми. Угол между прямыми может быть острым или прямым, а угол между векторами может быть еще и тупым. Поэтому соответствующий косинус, который мы найдем у векторов, надо будет взять по модулю, чтобы при необходимости вместо тупого угла найти смежный с ним острый угол.

Остановимся на свойствах скалярного произведения; они абсолютно аналогичны тому, что было в планиметрии.

1. (причем )

2. .

3. (

4. , где – число, , – векторы.

Доказываются эти утверждения аналогично планиметрическим.

Задача 1. Найти угол между векторами , .

Решение. Вспомним, что .

По формулам: ; .

Тогда .

Значит, .

Ответ: .

Задача 2. В единичном кубе найти угол между прямыми и . (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Иллюстрация к условию

Решение. Сразу отметим, что требуется найти угол между прямыми, то есть угол между ними будет острым. Значит, если косинус получится отрицательным, то надо взять его по модулю, найдя смежный острый угол.

Способ 1. Введем систему координат. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Ввели систему координат

Найдем координаты интересующих нас точек: , , , .

Теперь найдем координаты векторов: , .

Тогда нужно найти косинус угла между данными векторами: . Тогда .

Значит, . Тогда эти векторы перпендикулярны, а тогда и угол между исходными прямыми – прямой, то есть .

Способ 2. Перенесем вектор параллельно так, чтобы точка совместилась с точкой , получим вектор , тогда найдем угол между и . (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация ко второму способу решения

Способ 3. Используем теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой на плоскость передней грани является прямая , которая перпендикулярна (как диагональ квадрата). (См. Рис. 12.) Значит, исходные прямые перпендикулярны.

Рис. 12. Прямая и ее проекция

Ответ: .

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны , найдите косинус угла между прямыми и . (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Иллюстрация к задаче

Решение. 1. Введем систему координат. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Ввели систему координат

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим уже понятный плоскостной рисунок. (См. Рис. 15.) Тогда мы сможем найти координаты всех интересующих нас точек.

Рис. 15. Выносной рисунок основания призмы

Точка имеет координаты . Точка – . Точка – .

Тогда точка имеет координаты , а точка – .

2. Найдем координаты векторов и :

, .

3. Найдем длины векторов и :

4. Найдем скалярное произведение векторов и :

5. Найдем косинус угла между прямыми и :

, ,

Ответ: .

На этом уроке мы ввели понятие скалярного произведения для пространства, выяснили, что скалярное произведение обладает теми же свойствами и соответствующими формулами, что и для плоскости. Разобрали формулу скалярного произведения через координаты, поняли, как искать угол между векторами через координаты и между прямыми через координаты, не забыв, что в определенных условиях возникает модуль. То есть если косинус угла между векторами отрицателен, скалярное произведение векторов отрицательно (а мы ищем угол между прямыми), то соответствующий косинус, который тоже будет отрицателен, надо взять по модулю.

Читайте также: