Симметрия в математике доклад

Обновлено: 21.05.2024

Симметрия является неотъемлемой частью мира, в котором мы живем. Мы восхищаемся красотой природы, архитектурными сооружениями, механическими приборами и шедеврами искусства, не задумываясь над тем, что в основе их создания лежит симметрия.

Существует два основных виды симметрии: осевая и центральная.

Осевая симметрия или зеркальная – это симметрия относительно оси. То есть одна половинка фигуры полностью соразмерна с другой относительно прямой. Так если согнуть листок пополам, то каждая точка одной половины листа будет иметь своего двойника на другой половине, а сам сгиб станет осью симметрии.

Зеркальную симметрию можно наблюдать в природе: листья растений симметричны относительно среднего стебля, крылья бабочки являются зеркальным отображением друг друга, человек и животные обладают симметрией в расположении частей тела. Архитектурные сооружения также являются ярким примером осевой симметрии. Фасады зданий, особенно античных, вызывают чувства строгости и восхищения красотой именно благодаря симметрии их частей. Симметрия в архитектуре служит не только для эстетического удовольствия наблюдателей, но и гарантирует зданиям и сооружениям прочность и надежность конструкции.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. У такой симметрии обязательно есть неподвижный центр, при вращательных действиях на 180° относительно него фигура переходит сама в себя. Благодаря этому свойству центральная симметрия получила второе название – поворотная. С древнейших времен ее эталоном считается круг, и действительно, как бы мы не поворачивали его вокруг центра, каждая точка окружности переходит в соответствующую ей. В природе ярким примером центральной симметрии являются снежинки; цветы таких растений, как одуванчик, мать-и-мачеха, а также ромашки, если количество ее лепестков четное; шестеренки механизмов.

Вариант 2

Наверное, каждый слышал такие понятия, как "симметрия", "симметрично" и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?

Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.

Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью. Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности. Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.

Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.

Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:

Осевая симметрия.

Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.

1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.

2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.

3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.

4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.

Центральная симметрия.

Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.

Симметрия в математике и в природе

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Симметрия - понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е. некий элемент гармонии

Симметрия - основополагающий принцип устройства мира.

Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что это понятие хорошо знакомо человеку и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придаётся симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений. Но мало кто задумывается о том, что абсолютная симметрия встречается только в математике, а в жизни, в природе и вообще вокруг нас симметрия только внешняя.

Цель моей работы выяснить существование связи между симметрией и окружающим миром.

Задачи проекта:

Разобраться в вопросах:

Что такое симметрия в математике, её виды.

Увидеть проявления симметрии в окружающем нас мире.

Выбранная мной тема актуальна, потому что я, как и большинство наших друзей, мало знаем о многогранности симметрии, что не дает возможности раскрыть красоту и совершенство симметрии вокруг нас; увидеть необычное в обычном. Поэтому мне захотелось углубить знания по математике и другим учебным предметам. Научится определять виды симметрии и находить симметрию в окружающем мире.

Объект исследования: симметрия.

Предмет исследования: симметрия в математике и вокруг нас.

Симметрия в математике. Виды симметрии.

Симметрия – это идея, которую долгие века пытается понять обычный человек, ведь именно она создает совершенную красоту через уникальный порядок.

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до нашей эры. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.

В математике рассматриваются основные виды симметрии:

осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

центральная симметрия (симметрия относительно точки)

зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости).

поворотная (симметрия относительно оси вращения)

1. Осевая симметрия

Начертим треугольник АВС и проведем ось а. Из точки А проведем перпендикуляр к оси а и построим точку А1, так чтобы расстояние от точки А1 до оси было равным расстоянию от точки А до оси. Аналогично построим точки В1 и С1. Соединим полученные точки А1В1С1, получим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно оси а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a, также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб.

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

2 Центральная симметрия

Теперь возьмем тот же треугольник АВС, построим точку О. Проведем луч из точки А через точку О и отметим точку А1 на расстоянии, равном АО. Аналогично поступим с другими вершинами треугольника. Соединим точки А1В1С1, получим треугольник, симметричный треугольнику АВС, относительно точки О.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Центр симметрии может быть не только за пределами фигуры, но и внутри неё. Простейшими фигурами, обладающими такой симметрией, является окружность и параллелограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.

3. Зеркальная симметрия

Вернемся к нашему треугольнику АВС. Приставим перпендикулярно к нему зеркало. В отражении мы увидим симметричный треугольник, находящийся в другой плоскости.

4. Поворотная симметрия

Вырежем из картона треугольник, закрепим его на электродвигатель, и начнем вращение. В результате, при повороте вокруг оси вращения, треугольник совмещается сам с собой. В этом случае говорят о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью.

Симметрия в природе.

Для чего нужна симметрия живому и как она возникла?

Но так ли всё абсолютно симметрично в жизни, как в математике?

Рассмотрим несколько примеров.

Человек так же является объектом живой природы. И мне стало интересно, а симметрично ли лицо человека? Для того, чтобы найти ответ на этот вопрос, мы проведем эксперимент.

Проводим вертикальную ось симметрии:

Копируем левую половинку. Так же поступили и с правой.

Совместили две левые половинки:

Совместили две правые половинки:

Проведя эксперимент, мы пришли к выводу, что лицо человека не симметрично, как кажется на первый взгляд.

В нутреннее расположение отдельных органов в живых организмах также часто асимметрично.

Природа тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Взглянув более внимательно на лица окружающих людей, можно заметить, что в них практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.

Теперь рассмотрим цветок орхидеи на нашем подоконнике дома.

Внешне он также имеет симметричную форму листьев. Но при более детальном рассмотрении, мы видим, что с математический точки зрения лист ассиметричен.

Асимметрия в математике – понятие, противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия, что связано с изменением и развитием системы.

Асимметрия также широко распространена в мире. Она преобладает при переходе от неживой к живой природе.

В данной работе рассмотрены различные виды симметрии. Они нашли широкое применение не только в различных областях математики, но и в природе и жизни вокруг нас.

Мы считаем всё симметричное красивым, потому что симметрия — это порядок и устойчивость, а человек всегда стремится к порядку и гармонии. Но в окружающем нас мире нет абсолютной симметрии, и это мы выяснили в ходе нашей работы.

Исследователи доказали, что небольшие отклонения от симметрии придают индивидуальность объекту и делают его более интересным. Небольшие отклонения от симметрии допускаются и в архитектуре, одежде, прическах, украшения и т.д. Значительные же отклонения от симметрии считаются некрасивыми и часто не принимаются человеком.

Для неживой природы характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой природе на микроуровне преобладает асимметрия.

Таким образом, симметрия играет роль в сфере математического знания, асимметрия — в сфере биологического знания. Поэтому принцип симметрии — это единственный принцип, благодаря которому есть возможность отличать вещество биогенного происхождения от вещества неживого. Парадокс: мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличать живое от неживого.

Список используемой литературы

Вейль Г. Симметрия.

Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи.

Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982г.

Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики.

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Понимать, что такое симметрия в математике, необходимо, чтобы в дальнейшем освоить базовые и продвинутые темы алгебры, геометрии. Немаловажно это и для понимания черчения, архитектуры, правил построения рисунка. Несмотря на тесную связь с самой точной наукой – математикой, симметрия важна и для артистов, художников, творцов, и для тех, кто занимается научной деятельностью, причем в любой области.

Общая информация

Не только математика, но и естественные науки во многом основаны на понятии симметрии. Более того, оно встречается в повседневной жизни, является одним из базовых для природы нашей Вселенной. Разбираясь, что такое симметрия в математике, необходимо упомянуть, что существует несколько типов этого явления. Принято говорить о таких вариантах:

Зеркальная

Для выявления явления симметрии рассматривают конкретную геометрическую фигуру, а также выбирают плоскость. Когда говорят о симметричности рассматриваемого объекта? Сперва на нем выбирают некоторую точку, а затем находят для нее отражение. Между ними двумя проводят отрезок и вычисляют, под каким углом к выбранной ранее плоскости он проходит.

Разбираясь, что такое симметрия в математике, помните, что выбранная для выявления этого явления плоскость будет называться именно плоскостью симметрии и никак иначе. Проведенный отрезок должен пересекаться с ней под прямым углом. Расстояние от точки до этой плоскости и от нее до второй точки отрезка должно быть равным.

Нюансы

О чем еще интересном можно узнать, разбирая такое явление, как симметрия? Математика (6 класс) рассказывает, что две фигуры, считающиеся симметричными, совсем не обязательно идентичны друг другу. Понятие равности существует в узком и широком смысле. Так вот, симметричные объекты в узком – не одно и то же.

А что с центром?

Рассматривать центральную симметрию начинают с определения свойств тела, применительно к которому необходимо оценить явление. Чтобы назвать его симметричным, сперва выбирают некоторую точку, расположенную по центру. Далее выбирают точку (условно назовем ее А) и ищут для нее парную (условно обозначим Е).

При определении симметричности точки А и Е соединяют между собой прямой линией, захватывающей центральную точку тела. Далее измеряют получившуюся прямую. Если отрезок от точки А до центра объекта равен отрезку, отделяющему центр от точки Е, можно говорить о том, что найден центр симметрии. Центральная симметрия в математике – одно из ключевых понятий, позволяющих далее развивать теории геометрии.

А если вращаем?

Разбирая, что такое симметрия в математике, нельзя упустить из внимания понятие вращательного подтипа этого явления. Для того чтобы разобраться с терминами, берут тело, имеющее центральную точку, а также определяют целое число.

В ходе эксперимента заданное тело вращают на угол, равный результату деления 360 градусов на выбранный целый показатель. Для этого необходимо знать, что такое ось симметрии (2 класс, математика, школьная программа). Эта ось – прямая, соединяющая две выбранные точки. О симметрии вращения можно говорить, если при выбранном угле поворота тело будет находиться в том же положении, как и до проведения манипуляций.

В том случае, когда натуральным числом было выбрано 2, и обнаружено явление симметрии, говорят, что определена осевая симметрия в математике. Такая характерна для ряда фигур. Типичный пример: треугольник.

О примерах подробнее

Практика многолетнего преподавания математики и геометрии в средней школе показывает, что проще всего с явлением симметрии разобраться, объясняя его на конкретных примерах.

Для начала рассмотрим сферу. Для такого тела одновременно свойственны явления симметричности:

центральной;
зеркальной;
вращательной.

Еще один наглядный пример – круглый конус. Для этой фигуры свойственна осевая симметрия. В математике и архитектуре это явление нашло широкое теоретическое и практическое применение. Обратите внимание: в качестве оси для явления выступает ось конуса.

А если более интересные фигуры?

О чем нам может рассказать математика (6 класс)? Центральная симметрия есть не только в таком простом и понятном объекте, как шар. Она свойственна и более интересным и сложным фигурам. Например, таков параллелограмм. Для такого объекта центральной точкой становится та, в которой пересекаются его диагонали.

А вот если рассматривать равнобедренную трапецию, то это будет фигура с осевой симметрией. Выявить ее можно в том случае, если правильно выбрать ось. Тело симметрично относительно линии, перпендикулярной основанию и пересекающей его ровно посередине.

Симметрия в математике и архитектуре обязательно учитывает ромб. Эта фигура примечательна тем, что одновременно объединяет в себе два типа симметричности:

В качестве оси необходимо выбрать диагональ объекта. В том месте, где диагонали ромба пересекаются, расположен его центр симметрии.

О красоте и симметрии

Как известно, иные предметы кажутся большинству прекрасными, в то время как другие отталкивают, даже если в них нет очевидных изъянов. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос показывает взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии, ведь именно это явление и становится основой оценки предмета как эстетически привлекательного.

Одна из самых красивых женщин на нашей планете – это супермодель Кисти Тарликтон. Она уверена, что к успеху пришла в первую очередь благодаря уникальному явлению: ее губы симметричны.

Как известно, природа и тяготеет к симметрии, и не может ее достичь. Это не общее правило, но взгляните на окружающих людей: в человеческих лицах практически не найти абсолютной симметрии, хотя очевидно стремление к ней. Чем более симметрично лицо собеседника, тем он кажется красивее.

Как симметрия стала идеей о прекрасном

Удивительно, что на симметричности основано восприятие человеком красоты окружающего его пространства и объектов в нем. Долгие века люди стремятся понять, что же кажется прекрасным, а что отталкивает нелицеприятностью.

Стоит приглядеться к геометрическим фигурам, и явление симметрии станет очевидным и доступным для понимания. Наиболее типичные симметричные явления в окружающем нас пространстве:

горные породы;
цветы и листья растений;
парные наружные органы, присущие живым организмам.

Описанные явления имеют источником саму природу. А вот что можно увидеть симметричного, приглядевшись к изделиям человеческих рук? Заметно, что люди тяготеют к созданию именно такового, если стремятся сделать нечто красивое или функциональное (или и такое, и такое одновременно):

узоры и орнаменты, популярные с древних времен;
строительные элементы;
элементы конструкций техники;
рукоделие.

О терминологии

пропорциональность;
одинаковость;
соразмерность.

С древних пор симметрия является важным понятием для развития человечества в разных областях и отраслях. Народы с древности имели общие представления об этом явлении, преимущественно рассматривая его в широком смысле. Симметрия обозначала гармоничность и уравновешенность. В наше время терминологию преподают в обычной школе. Например, что такое ось симметрии (2 класс, математика) детям рассказывает учительница на обычном занятии.

Великие греки и симметрия

Симметричность будоражила умы известнейших ученых Древней Греции. До наших дней дошли свидетельства того, что Платон призывал отдельно восхищаться правильными многогранниками. По его мнению, такие фигуры – это олицетворения стихий нашего мира. Существовала следующая классификация:

Читайте также: