Розы и спирали в математике доклад

Обновлено: 06.05.2024

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Математика - это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные, инженерные задачи в различных отраслях жизни. Меня заинтересовали кривые, заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других мое внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок - полярная роза или роза Гвидо Гранди, спираль Архимеда.

Я заинтересовался розами и спиралями, которые радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы – они предопределены специальными математическими зависимостями. Постарался понять и изучить замечательные кривые. Затем я использовал полученные знания на практике.

Также в проекте рассматривается спираль Архимеда, это одно из величайших открытий, которое произошло в третьем веке до нашей эры, но не потеряло свою актуальность и в XXI веке.

Математика – очень интересная и увлекательная наука. Благодаря своей универсальности она стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. Так, например, мы встречаемся с кривыми, которые не кажутся нам безобразными, а совсем наоборот, они привлекают наше внимание своими изящными формами и удивительными свойствами.

Я приобрел не только новые знания, но и применил их на практике. На основании этого я создал макеты кривых Гвидо и спирали Архимеда.

Глава 1. Замечательные кривые

Глава 1.1 Знакомство с биографией Гранди Луиджи Гвидо

Г ранди Луиджи Гвидо (1671-1742). Итальянский монах, священник, философ, математик и инженер.

Глава 1.2. Стихотворение посвящённое розам Гранди

Полярная ночь холодна и морозна,

Укутавшись в плед изо льда и ветров,

Розы вычерчивает осторожно,

Чтобы шипы не острить мягкотой.

Желтый свет лампы, термометра след,

Холода не было, трещины нет.

Роза прекрасна, синяя тень,

Циркуля холод, угла единица,

Что ж мне по ночам-то не спится?

В этом стихотворении красной нитью проходит тема о розах Гвидо Гранди. В мире существует большое разнообразие видов цветов и их форм. Итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742), описал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Их правильное очертание не каприз природы, они предопределены математическими зависимостями.

Глава 1.3. Теория построения роз (уравнение кривой)

Рассмотрим кривые, которые называются розами Гранди Гвидо. На первом рисунке мы видим кривую, состоящую из трех лепестков, на втором рисунке кривая состоит из четырёх лепестков, на третьем рисунке из пяти, на четвёртом из семи на пятом из восьми.

Семейство роз в полярной системе координат описываются уравнением:

r = a*sin*k* фили r =a*cos*k* ф

r – это полярный радиус,

ф – это полярный угол,

a , k – это положительные постоянные, где a >0 , K >0 .

Так, как синус и косинус являются ограниченными функциями ,

k ф / 1 , | cos * k *ф |

Например: для розы, состоящей из трех лепестков k=3, четырех лепестков k=2, пяти лепестков k=5, семи лепестков k=7, восьми лепестков k=4.
(Смотреть приложение № 1)

Глава 1.4. Теория построения роз внахлёст (уравнение кривой)

Глава 1.5. Применение полярных координат в жизни

Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки.

Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев Р –цена сделки Ф – время её совершения Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов).

Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).

Пчелы используют полярные координаты для обмена информацией об источниках пищи. Найдя новый источник пищи, пчела-разведчица возвращается в улей и исполняет танец, на языке которого рассказывает, где находится клумба. Причём всё это похоже на двухлепестковую розу. Таким образом, пчела-разведчица сообщает другим пчелам полярные координаты нового источника пищи.

Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.

В системах идентификации человека

Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.

В различных областях науки и техники

Измерительный проектор предназначен для измерения различных параметров в прямоугольной и полярной системах координат. Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ.

Глава 1.6. Виды роз

В последние годы методы математического моделирования активно используются при создании архитектурных форм.

(Смотреть приложение №3 ,№4 ,№5 ,№6 ,№7)

Приложение № 3 Приложение № 4

Приложение № 5 Приложение № 6

Глава 2. Архимедова спираль

Г лава 2.1. Знакомство с биографией Архимеда

Архимед является выдающимся древнегреческим математиком, инженером и изобретаем своего времени. Родился он в 287 году до н.э. в городе Сиракузы на Сицилии. Отец Фидий был физиком и математиком, находящийся при дворе.

У ученого много открытий, который он посветил своей родине. Ему удалось воссоздать целую рычагово-блочных механизмом, которые позволяют перевозить тяжелые грузы намного быстрее.

Так же у Архимеда существуют множество работ связанных с алгеброй, геометрией, арифметикой. Разработал всесторонний метод вычисления площадей разнообразных фигур. Создал теорию об уравновешивании равных тел.

Глава 2.2.Спираль

Спираль - это винтообразная кривая , которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь приближаясь к оси. Спираль-плоская кривая линия. Спиральные формы часто встречаются в природе : галактики, водовороты, и смерчи, раковины моллюсков , папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК.

Существует множество видов спиралей и все они очень интересны и красивы.

1.Плоская спираль:

1) Архимедова спираль,

2) Спираль Ферма,

3) Гиперболическая спираль,

4) Логарифмическая спираль,

5) Спираль Фиббоначчи и золотя спираль,

6) Спираль Корню.

2.Трехмерная спираль:

1) Сферическая спираль.

Мы рассмотрим самый распространённый вид спирали (Архимедова).

Глава 2.3. Теория построения Архимедовой спирали

Это плоская кривая, которая в полярной системе координат описывается очень простым уравнением: r =ф

Глава 2.4. Применение спирали в жизни

Применение в технике

Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов.

Спираль Архимеда и последовательность Фибоначчи:

Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи. Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.

Спираль Архимеда в природе:

Глава 2.5. Виды Спиралей

Виды спирали, которые встречаются в природе:

(Смотреть приложение №9,№10,№11)

Приложение №9 Приложение №10

Глава 2.6. Практическая часть

2.Знаете ли вы как строить Архимедову спираль?

3.Знаете ли вы как строить розы Гранди Гвидо?

Из всей работы можно сделать вывод, что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Без них было бы невозможно существование многих растений, животных, космических галактик. Так же без знания таких фигур люди не смогли бы воспроизводить данную красоту в архитектуре, ландшафтном дизайне и любой другой своей деятельности.

Проведя исследование на данную тему, я узнал много интересного связанного с математическими расчётами, спиралями, розами, об их значениях и проявлениях в природе и деятельности человека. Научился делать построение некоторых фигур, и в итоге пришёл к выводу, что всё всегда связано с окружающим нас миром, и ничего не возникает из ниоткуда.

В жизни всегда было и будет множество великих математиков, открывающих нам огромный мир чисел, формул и построений, но мы не должны забывать про наш удивительный и невероятный мир, полный чудес и еще множеств нерешенных задач.

Данная работа позволила по-новому, с точки зрения математики, посмотреть на красоту окружающего мира, понять, что математика-прикладная наука, позволяющая описать эту красоту. Я рассмотрел много видов и форм роз и спиралей, которые дают фантазию для их применения. Также с точки зрения математики были созданы макеты цветов по данной технологии.

Список использованной литературы

5. Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Спиральные переходные кривые и их приложения. Scientiae Mathematicae Japonicae 61, 195 – 206.

Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.

Код баннера:

Исследовательские работы и проекты

Математические кривые

Подробнее о работе:

Актуальность исследовательского проекта по математике на тему "Математические кривые" заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. В индивидуальном проекте изучен вопрос применения кривых - математических роз и спиралей в природе и жизни человека.

Введение
1. Понятие математических кривых.
1.1. Определение математических кривых.
1.2. Определение математических спиралей.
1.3. Определение математических роз.
2. Практическое применение математических кривых.
2.1. Виды и уравнения математических спиралей.
2.2. Исследование роли математических спиралей в жизни человека.
2.3. Виды и уравнения математических роз.
2.4. Исследование применения математических роз в природе и жизни человека.
2.5. Построение математических роз и спиралей в классе.
Заключение
Литература

Введение

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии у человека.

Цель исследования: Анализ видов роз и спиралей, известных в математике, а так же рассмотрение объектов, с которыми человек встречается ежедневно и использует в своей деятельности.

Изучение литературы;
Анализ интернет - ресурсов, посвященных розам и спиральным кривым в математике;
Рассмотрение объектов, имеющих вид роз и спиралей, которые встречаются в жизни человека.
Построение математических роз и спиралей в классе.

Объект исследования: математические кривые - розы и спирали.

Предмет исследования: Применение математических роз и спиралей в жизни людей.

Общенаучные методы

анализ научной литературы;
синтез;
классификация;
исследование и обобщение.

Эмпирическое исследование

Объяснительное эмпирическое исследование. Данное исследование включает в себя не только сбор и анализ, но и объяснение полученных фактов, а так же содержит выявление причин и причинно-следственных зависимостей между фактами, при котором неизвестное объясняется через известное.

Гипотеза: математические кривые – розы и спирали проявляютсявезде, на них основана жизнь. Розы и спирали присутствуют в каждом аспекте нашей жизни.

Определение математических кривых

Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми, но при этом ему не полностью хорошо известны важнейшие свойства прямой и окружности. Именно из этих двух понятий и математических кривых, при довольно интересном и легком взаимодействии, образуются такие интересные кривые, как спирали и розы.

Определение математических спиралей

Математические спирали - плоские кривые, которые обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее/них.

Определение математических роз

Математические розы – плоские кривые, напоминающие символическое изображение цветка.

Виды и уравнения математических спиралей

Архимедова спираль – кривая, задаваемая уравнением r=aφ, где a – некоторое фиксированное число.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2π, что и составляет расстояние между соседними витками.

Циклоида – кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящаяся без скольжения по прямой линии.

Спираль Ферма - спираль, задаваемая на плоскости в полярных координатах уравнением r^2=a^2 φ, является видом Архимедовой спирали.

Логарифмическая спираль (изогональная)

Данная спираль получила такое название из-за того, что логарифм расстояния (log_α⁡r) возрастает пропорционально углу поворота. Описывается она уравнением r=α^φ, где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, φ – угол поворота, относительно полюса, постоянная.

Золотая спираль – логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ^4, где φ - золотое сечение. Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360.

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат имеет такой вид: r= αφ^(±2θ/π), где a – произвольная положительная вещественная константа,

А φ=(√5+1)/2 – золотое сечение.

Спираль Корню (Клотоида) - кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. 1/R~L↔R∙L=const

Исследование роли математических спиралей в жизни человека

Математические кривые широко распространены, их применяют в производстве, строительстве, военном деле и т.д. Они поистине замечательны своими свойствами.

Изначально поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается, как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и лунных фаз, ход истории человеческой жизни).

Спираль считается знаком развития жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улиток), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики.

Спирали также широко проявляют себя в растительном и животном мире:

Помимо природы спираль встречается также в деятельности человека:

Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что строгая математика находится в постоянном взаимодействии с нами, хоть мы этого и не замечаем.

Виды и уравнения математических роз

Роза Гвидо Гранди

Уравнение данной розы имеет такой вид: r=R sin⁡ωφ.

Задавая параметр ω=n/d, отношением натуральных чисел, можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.

Изменяя данное уравнение, а так же подставляя в него множество чисел можно получить огромное разнообразие роз.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь, так как:

Если ω=n/d, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1. ρ=α sin⁡2φ

ρρ=α sin⁡3φ

Свойства четырехлепестковой розы
Четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной - 1, концы которого скользят по координатным осям.
Площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна π/2. Если k – натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном: лепестков при k нечетном. Если k - рациональное число (k=m/n), то роза состоит из n лепестков в случае, когда оба числа n и m нечетные, и из 2n лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k – иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества лепестков.

Кардиоида – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Определяется в полярных координатах уравнением: ρ=α(1-cos φ ), в котором α – радиус окружности.

Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок.

В полярных координатах определяется уравнением: ρ=2 sin⁡4φ.

Лемниската Бернулли – кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек (фокусов) - постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Уравнение: ρ^2=2с^2 cos 2φ

Исследование применения математических роз в природе и жизни человека

Большинство видов математических роз встречается в архитектуре, в создании человеком храмов, церквей и т.д.
В архитектуре малых форм (орнамент)

С помощью выращенных цветов, различных кривых и графических редакторов можно сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими различные предметы. Орнамент – украшение, узор, состоящий из ритмически организованных повторяющихся элементов, которые композиционно могут образовывать орнаментальный ряд или раппорт.

В ландшафтном дизайне
В природе встречается в огромном разнообразии цветов любых форм.

Построение математических роз и спиралей в классе

В ходе моего исследования по данной теме я выяснила, что человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета у него может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии у человека. Так же я узнала, как происходит построение математических спиралей и роз и решила воспользоваться и проверить данные знания в реальной жизни.

Заключение

Из всей данной работы можно сделать вывод, что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Без них было бы невозможно существование многих растений, животных, космических галактик. Так же без знания таких фигур люди не смогли бы воспроизводить данную красоту в архитектуре, ландшафтном дизайне и любой другой своей деятельности.

Проведя исследование на данную тему, я узнала много интересного связанного с математическими расчётами, спиралями, розами, об их значениях и проявлениях в природе и деятельности человека. Научилась делать построение некоторых фигур, и в итоге пришла к выводу, что всё всегда связано с окружающим нас миром, и ничего не возникает из ниоткуда.

Практическая значимость работы: Данное исследование можно применять на факультативных занятиях по математике.

Цель работы достигнута: определена значимая роль математических кривых – роз и спиралей в жизни человека. Гипотеза о том, что розы и спирали присутствуют в каждом аспекте нашей жизни, подтверждена. Все поставленные в работе задачи решены: проведен анализ видов роз и спиралей, известных в математике, рассмотрены объекты, с которыми человек встречается ежедневно и использует в своей деятельности, проведено построение математических роз и спиралей в классе.

8. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

Цель работы – исследовать розы (кривые) Гвидо Гранди.

Полярная система координат. В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом φ, образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат – система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (R; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Связь между полярной и декартовой системами координат. Точка О – полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ – называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F – полярный угол.

Классификация плоских кривых

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую. Различны и способы задания кривых:

– аналитический – кривая задана математическим уравнением;

– графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;· табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой [8].

В основу классификации кривых положена природа их уравнений.

Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того, являются ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.Плоская кривая линия называется алгебраической, если её уравнение f (xy) = 0. Функция f (xy) является степенным множителем относительно переменных х и у; в остальных случаях кривая называется трансцендентной. Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением п-й степени, называется алгебраической кривой п-го порядка. Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными [7].

Плоские Кривые линии

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию п-го порядка не более, чем в п точках.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии:

Рис. 3. Гипербола

1. Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках (рис. 2). При этом парабола может быть определена как:

– множество точек М(A,B,C. ) плоскости, расстояние которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию до определенной прямой DD1 – директрисы параболы;

– линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса;

– в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид

где р (фокальный параметр) – расстояние от фокуса до директрисы.

– множество точек М(A,B,C. ) плоскости, (рис.3) разность (по абсолютной величине) расстояний которых до двух определенных точек F и F1 этой плоскости (фокусов гиперболы) величина постоянная:

FM – F1M = 2а 1, – рациональное число, роза состоит из m лепестков при m и n нечетных и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий).

4. Если k – иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга (приложение № 2).

Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабенихт – геометр 19 столетия. Им был получен целый ряд уравнений, которые с весьма хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т.д. Вот некоторые из этих кривых:в полярных координатах можно описать при помощи косинусов кратных дуг линии, которые обрисовывают контуры листьев некоторых растений:

Исследование формы кривой при постоянном значении радиуса r = 2, и изменяющемся значения коэффициента при угле φ [5].

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки – центра колебаний, то траектория этой точки будет розой. Вообще, если k – натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k – рациональное число то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k – иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.

В данной работе было приведена классификация роз Гвидо Гранди и описаны их основные свойства: порядок алгебраической линии; рассмотрены особые точки кривой; приведена формулы по вычислению длины дуги, радиуса кривизны. Кривая применяется при нарезке зубчатых передач и при описании движения галактических объектов относительно произвольной точки галактики (Земля).

Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel [4].

Если уравнение задано в декартовых координатах, то следует перевести его в полярные, используя формулы: X = R*COS(F), Y = R*SIN(F). Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения кривой. Задача. Построить кривую, заданную уравнением . Решение. Найдем уравнение данной линии в полярных координатах.

Для программы Microsoft Excel: R = 4*COS(3*F). Предположим, что угол F изменяется в интервалах от 0 до 2?. Для того, чтобы построить эту кривую наиболее точно, с малым шагом изменения угла F, как мы это делали при построении тригонометрических функций, мы выберем шаг изменения 0,1. Построим компьютерную модель исследования. Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

Тогда получаем следующее распределение по столбцам электронной таблицы.

Для построения графика выделим информационный блок E2..F63, так как аргумент F, будем изменять от 0,1 до 6,3 радиана. Возможно изменение и до 9,42, 12,56, и т.д. Получим следующий график.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Замечательные кривые. Презентация на заданную тему содержит 31 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Спираль Архимеда Такую спираль изучил древнегреческий ученый-математик Архимед. Геометрическое свойство, характеризующим спираль Архимеда, является постоянное расстояние между витками. По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса. Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Квадратичная спираль Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натертый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая ее наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке.

Логарифмическая спираль Эта спираль имеет бесконечное множество витков и при раскручивании , и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали - под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Спираль Корню Эта кривая названа по имени французского физика XIX века А.Корню. При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра.

Читайте также: