Развития понятия функции доклад
Обновлено: 30.06.2024
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлечённом виде, изучает законы и взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями или функциями.
Например, в соотношении у = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины х его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нём зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х движения.
Математика же изучает зависимость у = х2 и её свойства в отвлечённом виде. Она устанавливает, например, что при зависимости у = х2 увеличение х в два раза приводит к четырёхкратному увеличению у. И где бы конкретно ни появлялась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять к любым конкретным объектам.
Г. Лейбницу от 1698 г. Швейцарский учёный И. Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века. Активным сторонником такого понимания функции был
Н. И. Лобачевский.
Определение понятия функции.
Рассмотрим, как определяется это понятие в специальной математической литературе.
Тогда мы обратились к другим книгам и справочникам.
«Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике, заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины. Переменная величина – это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина – это такая, которая в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, а в другом – переменной величиной.
Говорят, что две переменные величины, х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определённых значений другой.
3. Способы задания функции.
Рассмотрим каждый из названных способов задания функции.
Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д. ). Этот способ сразу даёт числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами.
Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10: х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 х2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Графический способ состоит в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость.
Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.
Пример. V = sh ; s = ab и т. д.
Алгоритмическое задание функции или точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить значение функции, является основным для расчётов, выполняемых на ЭВМ.
Глава II. Исследовательская работа по изучению количественных соотношений и установлению функциональных зависимостей.
1. Работа 1. Исследование площади прямоугольника данного периметра.
Задача. Дан прямоугольник с периметром 24 см и длиной стороны х см.
1) Задайте формулой зависимость площади s (см2) прямоугольника от х и заполните соответствующую таблицу значений: x 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10
2) Выясните, при каком значении х получился прямоугольник наибольшей площади? Каково этот наибольшее значение?
3) Выберите сами два каких-либо допустимых значения х и вычислите соответствующие значения s. Сравните полученные значения s с найденными ранее.
4) Сделайте вывод на основе проведённого исследования о форме прямоугольника
6 наибольшей площади, имеющего данный периметр.
Способы исследования зависимости: вычисления, составление таблицы, вывод формулы.
Мы получили формулу для вычисления площади прямоугольника, используя которую, заполним таблицу: x 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10 11 11,5 s 20 27 32 35 35,75 35,96 35,99 36 35,99 35,96 35,75 35 32 27 20 11 5,75
Проанализировав полученные значения, определили: прямоугольник наибольшей площади 36 см2 получился при длине стороны 6 см.
Продолжим заполнение таблицы, подставив вместо х значения 11 см и 11,5 см. Получили значения площади 11 см2 и 5,75 см2, что меньше 36 см2.
Решая данную задачу, мы установили, что существует функциональная зависимость между площадью прямоугольника и длиной его стороны (при неизменном периметре). Эту зависимость выразили формулой:. Исследовав при помощи вычислений полученную функцию, пришли к выводу о том, что прямоугольник с заданным периметром имеет наибольшую площадь, если у него форма квадрата.
2. Работа 2. Исследование зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объёма жидкости.
Приборы и материалы: ведро стандартное (цилиндрической и конической формы), банка литровая, линейка.
Задача. Построение графика зависимости высоты столба жидкости в сосуде от объёма жидкости.
1) Выполнив необходимые измерения, заполните таблицу:
Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) а) ведро цилиндрической формы; б) ведро конической формы.
2) Постройте график зависимости h от V: а) ведро цилиндрической формы; б) ведро конической формы.
3) Сделайте вывод на основании сравнения двух графиков о том, в каком случае происходило равномерное изменение величины, а в каком случае неравномерное.
Способы исследования зависимости: опыт, измерения, составление таблиц, построение и исследование графиков.
а) ведро цилиндрической формы:
Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
8 б) ведро конической формы:
Объём воды V (л) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба h (см) 2,5 5,5 8,5 11 13,5 15,5 18 20 22,5 24,5
Рассмотрев построенные графики, мы увидели, что графиком в случае а) является прямая линия, в случае б) ломаная линия.
Решая данную задачу, мы установили, что существует функциональная зависимость между объёмом жидкости и высотой столба этой жидкости налитой в сосуд. Эту зависимость мы изобразили в виде графиков. На основании сравнения полученных графиков сделали вывод о том, что равномерное изменение высоты столба жидкости происходит в ведре цилиндрической формы, неравномерное – в ведре конической формы.
3. Работа 3. Исследование зависимости перемещения и пути от времени при криволинейном движении.
Приборы и материалы: схема маршрута туристов в масштабе 1 : 200000, измерительный циркуль, линейка.
Задача. Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 3 ч пути они сделали остановку на 1 час, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч.
(На рисунке изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной в 1 км)
1) Определите путь s (км) пройденный туристами и заполните таблицу: t, ч 0,5 1 2,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 s км
Постройте график зависимости s(t).
2) Определите удаление (перемещение) d (км) на которм находятся туристы от точки А и заполните таблицу: t, ч 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 d км
Постройте график зависимости d(t).
3) Найдите расстояние от точки А до В по прямой; какой путь преодолели туристы, двигаясь по реке из пункта А в пункт В; определите наибольшее удаление туристов от точки А.
4) Сделайте вывод на основании сравнения двух таблиц и графиков о том одинаковы или различны путь и перемещение при криволинейном движении.
Способы исследования зависимости: измерения, вычисления, составление таблиц, построение и исследование графиков.
t, ч 0,5 1 2,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 s км 2,5 5 7,5 10 12,5 15 15 15 18 21 24 27 30 33 36 39
10 t, ч 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 d км 2,6 5,6 8,4 10,6 9 7,4 7,4 7,4 6,4 8,6 11 13,2 15,6 17,6 19,6 21,2
Расстояние от пункта А до пункта В по прямой 22 км.
Туристы преодолели путь длиной 40 км.
Наибольшее удаление туристов от пункта А 21,2 км.
Решая данную задачу мы установили, что существуют функциональные зависимости пути и перемещения от времени. Данные функциональные зависимости представили в виде таблиц и графиков. На основании сравнения полученных таблиц и графиков пришли к выводу о том, что при криволинейном движении путь и перемещение могут иметь имеют различные значения, т. е. путь и перемещения различны.
В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами
2) познакомилась со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт, измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков;
3) научилась применять изученные способы для установления функциональных зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их функциональной зависимости.
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века)
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 – 5 тыс. лет назад) пусть и несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век)
Начиная лишь с 17 века в связи с проникновением в математику идеи переменных понятие функции явно и вполне сознательно применяется.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z, известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c. и т. д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.
Кроме того, у Декарта и Ферма (1601 – 1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей "Геометрии" в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения — формулы. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл ее "флюентой").
В "Геометрии" Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило, по существу, интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых — функция от абсцисс (x); путь и скорость — функция от времени (t) и т. п.
Аналитическое определение функции (17 – начало 19 века)
Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j(x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e; Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначил через f: y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).
Наряду с этим Эйлер предлагает использовать буквы F, Y и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера; он пишет, например, jt, j (t+s).
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717 – 1783), Лагранж (1736 – 1813), Фурье (1768 – 1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался вышеуказанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.
В "Дифференциальном исчислении", вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: "Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых". "Это наименование, — продолжает далее Эйлер, — имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других".
Как видно из представленных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.
Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?
Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую АН в 1807 – 1811 гг. "Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле", Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье следовало, что любая кривая, независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем "Курсе алгебраического анализа", опубликованном в 1721 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.
Идея соответствия (19 век)
В 1834 году в работе "Об исчезании тригонометрических строк" Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое Эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: "Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе".
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Содержимое разработки
Исторические сюжеты о функциях
Появление понятия функции
Различные подходы к определению функции
Древнегреческий взгляд на функцию
Пусть ABCD — квадрат со стороной, равной, например, 1 м. Его площадь равна 1м 2 . Требуется построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Ясно, что сторона такого квадрата должна быть равна $$\sqrt$$ м, т. е. искомый квадрат надо строить на диагонали данного. Таким искомым квадратом будет квадрат ACEF. Из подобия треугольников ACD и АЕС следует $$\frac = \frac$$ или $$\frac = \frac$$.
Все очень просто и понятно, задачу можно решить с помощью циркуля и линейки.
А тогда, в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский заметил, что как для удвоения квадрата, надо между 1 и 2 вставить среднее пропорциональное, т. е. составить пропорцию $$\frac = \frac$$ , так и для удвоения куба надо вставить между числами 1 и 2 средние пропорциональные, но уже не одно, а два, т. е. составить пропорцию $$\frac = \frac = \frac$$.
Так ли это? Найдем из этой пропорции x. Во-первых, из $$\frac = \frac$$ получим x 2 = y. Во-вторых, из $$ \frac = \frac$$ получим 2x = y 2 или $$x = \fracy^$$. Теперь вместо y подставим во второе уравнение x 2 , получим $$x = \fracx^$$ т.е. $$1 = \fracx^$$ , следовательно, $$x = \root 3 \of $$ , т. е. рассуждения Гиппократа были правильными.
Строим все три графика, получаем искомую точку. С точностью до 0,01 получится: x = 1,26; x 2 = 1,59; $$\frac$$ = 1,59; $$\sqrt$$ = 1,59. Действительно можно считать, что $$\frac = \frac = \frac$$ . А если заглянуть в таблицы, то увидим, что $$\root 3 \of $$ = 1,26.
Но так получилось у нас, людей знающих, что такое функция, умеющих строить графики, в том числе и графики функций $$y = \frac$$ - гиперболу, $$Y = x^$$ — параболу.
Кстати, с параболой впервые мы встретились в алгебре именно при изучении функций. Позднее эта кривая понадобилась в физике, когда мы изучали полет тела, брошенного под углом к горизонту. Еще первобытные люди бросали камни, видели, как они летят, видели параболу, значит, этой кривой должны были заинтересоваться в глубокой древности. Видимо, существует способ построения параболы без всяких иксов и игреков, без формул, без уравнений, способ чисто геометрический.
Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции
Задача Лейбница о трактрисе
Пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки.
Решение: Эту кривую называют трактрисой. Через полтора столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского.
Пушки и ученые
Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Сначала применяли лишь настильный огонь, а это не давало возможности располагать артиллеристов в укреплении за холмом. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Ученые доказали, что тело движется по параболе.
Если при заданной начальной скорости снаряда менять угол , то получится бесконечное множество парабол. Все параболы, для которых 45° ? $$\alpha$$ ? 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение $$y = \frac(\frac
Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона.
Оптические свойства параболических зеркал
-75%
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель проекта: С помощью различных источников информации: толковых словарей, учебной, научно-популярной, художественной литературы, видеоматериалов и аудиоматериалов, осмыслить роль понятия как инструмента познания мира и определить его место в картине мира.
Задачи проекта:
Пользуясь словарями, найдите различные значения термина понятия функция, проанализировать их с точки зрения математического определения.
Познакомиться с историей формирования понятия функция в математике, проследить тенденции его развития.
Описать особенности применения понятия функция в различных науках и сферах человеческой деятельности.
Подобрать пословицы и поговорки, в которых можно увидеть определенное свойство функции.
Аннотация проекта: Данный проект направлен на всесторонние изучение одного понятие математики. Поиск, выбор, анализ информации в процессе работы над проектом, а также общение в группе со сверстниками и учителями позволяет учащимся развивать культуру мышления и общения (навыки полноценной аргументации, стиля мышления),способность переноса математических знаний в другие сферы .
Значение слова "Функция" в толковых словарях.
Толковый словарь Ожегова. С. И.
Толкование значения слова
Пример
1. Обязанность, круг деятельности.
Служебные функции. Функции профкома.
2. Работа, производимая органом, организмом.
3. Роль, значение чего-либо.
4. В философии: явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления.
5. В математике: закон, по которому каждому значению переменной величины ( аргумента ) ставится в соответствие некоторая определенная величина.
Линейная функция (меняющаяся прямо пропорционально изменению своего аргумента).
Толковый словарь русского языка Ефремовой Т.Ф.
1. Зависимая переменная величина ( в математике).
2. Проявление жизнедеятельности организма, тканей, клеток и т. п.
1) Явление, зависящее от другого, основного явления и служащие формой его проявления или осуществления.
2) А) перен. Обязанность, круг деятельности подлежащая исполнению работа.
Б) Значение, назначение, роль.
В Толковом словаре Ожегова приведено пять значений слова функция, а в Толковом словаре русского языка Ефремовой Т.Ф. - пять значений, которые мы используем в обычной жизни.
Что же связывает все эти значения?
Когда мы говорим об обязанностях круг деятельности, то понимаем, что каждому человеку ( аргументу ) соответствует набор возложенных на него обязанностей (или обязанность). Когда мы говорим о работе, проводимой органом, организмом, то понимаем, что органу или организму (аргументу) ставится в соответствие та работа, которую он выполняет. Так, функция печени - очищение крови. Поэтому печень - значение аргумента, а очищенная кровь - значение функции. Функция сердца - перекачивать кровь, значит, сердце - значение аргумента, а перекаченная им кровь - значение функции и т. д.
Таким образом, я установила:
Общее, что свойственно каждому значению слова функция: это закон, по которому каждому значению переменной величины (аргумента) ставится в соответствие некоторая определенная величина - значение функции.
В школьную программу по математике включены только числовые функции. Оказывается, это лишь малая часть множества всех функций.
Математические методы изучения функции являются наиболее общими, так как математика изучает не каждую конкретную ситуацию в отдельности, а сразу все ситуации, которые можно описать одним законом.
Понятие функция - это инструмент, с помощью которого человек познает мир, поэтому оно является одним из основных и важных понятий.
Когда и в связи с чем, возникло понятие функции? Может быть, оно было всегда?
Конечно, с самой далекой древности люди знали функциональные зависимости, но само понятие функция (термин ) ввел Г.В. Лейбниц в 1673 г., а систематическое изучение функциональной зависимости началось только тогда, когда в математику, благодаря работам Р. Декарта, вошла переменная. И хотя ученые еще небыли готовы ввести определение понятия "функция", наибольшее влияние на развитие понятия функция в XVII веке оказали Р. Декарт и Г.В. Лейбниц.
В XVIII веке понятие функция получает свое развитие благодаря работам ученика Г.В. Лейбница И. Бернулли, который в 1718 г. впервые дает определение функции, понимая ее как аналитическое выражение (формулу). Позже Л. Эйлер уточняет это определение. Таким образом, ученые XVIII века, среди которых назовем еще знаменитых Ж.Л. Дамблера, Ж.Л. Лангранжа, понимают функцию, как аналитическое выражение.
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, близкое к современному, встречается уже в учебниках начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.
Определение и свойства понятия "функция" в пословицах и поговорках
Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.
График представит количество дров как функцию пути.
Кол-во
дров
Продвижение в лес
Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.
Кол-во
каши
Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.
"Функция" в технике и физике
Кондиционер - прибор, который служит для охлаждения и обогрева воздуха, уже находящегося в помещении.
При испарении жидкости теплота поглощается из окружающей среды. При конденсации пара тепло, напротив, выделяется.
Температура кипения воды - функция атмосферного давления Т=Т (р): чем ниже это давление, тем ниже температура кипения.
Известно, что вода закипает при температуре 100 градусов. Но это происходит при атмосферном давлении 760 мм рт. ст. При повышении давления температура кипения возрастет, а при его понижении ( например, высоко в горах) вода закипит при температуре гораздо ниже 100 градусов. В среднем, при изменении на 27 мм рт. ст. температура кипения изменится на 10 градусов.
Различные жидкости кипят при разных температурах даже при одинаковом внешнем давлении.
Например, жидкий азот кипит при температуре примерно -770 градусов, а фреон R-22, который применяется в холодильной технике, - при температуре -40,8 градусов.
Солнечная батарея.
Когда лучи попадают на n-слой (электронный), за счет фотоэффекта образуются свободные электроны. Кроме этого, они получают дополнительную энергию и способны "перепрыгнуть" через потенциальный барьер p-nперехода. Концентрация электронов и дырок изменяется и образуется разность потенциалов. Если замкнуть внешнюю цепь, через нее начнет течь ток.
Разность потенциалов (а соответственно и ЭДС), которую может создавать фотоэлемент, зависит от многих факторов: интенсивности солнечного излучения, площади фотоэлемента, КПД конструкции, температуры ( при нагревании проводимость падает ).
Мощность батареи есть функция от нескольких переменных: солнечного излучения, температуры окружающей среды.
Ртутный или спиртовой термометр и электронный градусник.
Длина ртутного или спиртового столбика в случае, если это ртутный или спиртовой термометр, или число, если это электронный градусник, есть функция температуры тела человека, который ее измеряет.
"Функция" в архитектуре
Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем металлическая, длинная - сильнее, чем короткая, тонкая - сильнее, чем толстая
Функция зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана.
Функция, выделенная в контексте архитектуры, может служить критерием для построения классификации объектов архитектуры, такая классификация привела к выделению типов зданий.
"Функция" в астрономии
Второй закон Кеплера
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за ровные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Промежутки времени ( аргументу ) соответствует площадь сектора орбиты.
"Функция" в окружающем мире
Пыль, копоть и прочие им подобные плоды цивилизации загрязняют атмосферу, переносят ветрами на огромные расстояния, оседают на ледниках, и загрязненный лед интенсивнее поглощает солнечные лучи, лед тает быстрее.
Сложная функция, или суперпозиция.Количеству топлива, потребляемому заводами и фабриками планеты, соответствует определенное количество пыли и копоти, выбрасываемой в атмосферу, а этому количеству соответствует определенное количество солнечной энергии, поглощаемое ледникам.
Популяции.
Анализ динамики численности популяции синиц за какой-либо период времени. А так же:
начальная численность популяции
динамика численности популяции
фактор выживаемости, рождаемости
падение скорости численности популяции
фактор сдерживания роста популяции
Дни солнцестояния.
Почему в марте долгота дня меняется быстро, а в июне и декабре – медленно?
С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта.
Таяние льда.
С мороза в комнату внесли банку со льдом. Как измениться его температура с течением времени?
Глядя на график, мы можем увидеть, что лёд вначале согреется до температуры 0 градусов, а потом будет нагреваться до того, пока его температура не будет равна комнатной.
"Функция" в искусстве
Хорей - двудольный размер, с ударением на первом слоге в стопе, то есть в строке ударным являются первый, третий, пятый и т. д. слоги. Пример четырехстопного хорея:
Буря мглою небо кроет
Вихри снежные крутя [. ]
А.С. Пушкин, "Зимний вечер"
Если ударному слогу приписать цифру 1, а безударному - 0, то получим функцию, которая каждому нечетному слогу стопы ставит в соответствии цифру 1, а каждому нечетному - 0
Не было гвоздя - подкова пропала,Не было подковы - лошадь захромала,
Лошадь захромала - командир убит,Конница разбита, армия бежит.Враг вступает в город, пленных не щадя,Оттого что в кузнице не было гвоздя.
Сложная функция: гвоздю (которого не было) соответствует подкова, подкове - лошадь, лошади - командир, командиру - конница, коннице - армия.
Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.
"Функция" в медицине
На рисунке отображены колебания “энергетических” ресурсов по годам жизни людей в условных единицах. При анализе этого графика необходимо помнить, что он отображает всего лишь один из множества процессов, происходящих в организме человека.
Каждые 12 лет в организме человека идут перестройки, что ведет к определенным спадам его ресурсов. Эти перестройки охватывают по продолжительности несколько лет. Учет фазы, в которой в данный момент находится человек, позволяет более адекватно оценивать результативность различных методов терапии и лекарственных препаратов, в частности при таких тяжелых заболеваниях, как, например, онкологические, и добиться повышения эффективности их лечения.
"Функция" в повседневной жизни
Демография рождаемости и смертности в Новосибирской области за 5 лет
Таблица стоимости проезда.
Представлена таблица стоимости проезда в пригородном транспорте, где
m – стоимость проезда.
n зависит от m или m от n?
Так как чем больше номер зоны, тем больше проезд, то n независимая переменная, а m – зависимая. Здесь прямая зависимость.
Заключение:
Литература:
1. Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике. –М.Просвещение, 1998.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение,
3. Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 2008.
4. Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:
Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2004.
Читайте также: