Приемы быстрого счета 5 класс доклад

Обновлено: 17.05.2024

Мне всегда было интересно, какими методами пользуются учителя математики при проверке тетрадей, при объяснении нового материала, когда приходится произвести быстрый расчёт. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

Цели работы: изучение методов и приёмов быстрого счёта.

· изучить историю возникновения вычислений;

· рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас;

· освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.

· провести тестовый опрос

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях. И оказалось, что большие познания можно получить, обратившись к литературе.

На этом этапе мне предстоит окунуться в историю появления счёта, чтобы понять преимущества людей, обладающих приёмами быстрого счета.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счёта.

1.1. Изменение счёта при появлении цивилизации

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

1.2. Первая литература по способам счёта.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с номером 3 и за ним палец с номером 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 не загнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 2 пальца после пальца с номером 4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца – справа. Следовательно, 8·3=24.

Проектная работа по математике ученицы 5 класса. Проект, презентация к проекту, брошюра.

Актуальность:

В настоящее время школьникам приходится тратить много времени на выполнение домашнего задания. Чтобы сэкономить своё время, необходимо знать некоторые приёмы математического счёта. Они могут пригодиться в разных жизненных ситуациях.

Цель проекта: Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для производства которых, достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Задачи:

Изучить справочную литературу.

Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.

Провести исследования среди школьников 5 – 10 классов.

Сделать выводы по результатам исследования.

План работы:

Собрать необходимую информацию о приёмах быстрого счёта.

Подготовить материал к презентации.

Создать печатную брошюру с приёмами быстрого счёта.

Оформить проектную папку.

Гипотеза: Если раскрыть роль быстрого счета в математике, то это позволит повысить интерес школьников к предмету.

Ожидаемый результат: пополнить кругозор учащихся 5-6 классов новой и интересной информацией о приемах быстрого математического счета.

Конечный продукт: Печатная брошюра с приёмами быстрого счёта в математике

Содержание

Теоретическая часть. Несколько легких математических трюков.

Практическая часть. Исследования среди школьников и учителей школы.

Правила для тренировки быстрого устного счета.

Список использованной литературы.

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног.

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

Я остановлюсь на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых, достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.

Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.

А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Я хочу рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица,

Потому что считаем в уме. (Автор Валентин Берестов)

Теоретическая часть.

Несколько лёгких математических трюков
1. Умножение на 9.
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае это 7). Ответ: 27 .

2. Умножение чисел от 10 до 20.

Можно очень просто умножать такие числа!

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288

3. Умножение на 11.
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры: 72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример. 94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034. Э то срабатывает всегда.

4. Умножение на 22, 33,…,99.

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, . 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 ∙ 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример . 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

4. Умножение на 25.

Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4.

Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).

Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная (3/4)сотня – 75)=3375.

5. Умножение на 5, на 50, на 25, на 125.

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5 = a ∙ 10:2 a ∙ 50 = a ∙ 100:2

a ∙ 25 = a ∙ 100:4 а ∙ 125 = а ∙ 1000:8

Пример : 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

6. Увеличение и уменьшение суммы в выражении.

Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть ( a + b )-( a - b )=2 b

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть

Пример . (3+2)+(3-2)=3 ∙ 2=6

7.Умножение на число, оканчивающееся на 5.

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило (срабатывает всегда).

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Пример. 28 ∙ 15 = (28 : 4) ∙ (15 ∙ 4) = 7 ∙ 60 = 420.

8.Вычитание из 1000.
(Представьте, что вы пришли в магазин с крупной купюрой)

Чтобы выполнить вычитание из 1000 и быстро рассчитать сдачу, можете пользоваться этим простым правилом:

Отнимите от 9 все цифры, кроме последней.

А последнюю цифру отнимите от 10 !

Пример:1000-648
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352

8.Способы быстрого сложения натуральных чисел.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

9. Способы быстрого вычитания натуральных чисел.

Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример: 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

10. Быстрое возведение в квадрат.

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!

Пример: 25 2 = (2 ∙ (2+1)) добавляем 25
2 ∙ 3 = 6. В ответе получаем 625

11. Прием перекрестного умножения (способом Ферроля).
при действии с двузначными числами

Пример: 24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Практическая часть

Я попыталась провести исследование, в ходе которого я просила разных участников выполнить некоторые примеры, предлагала по 3 одинаковых задания каждому.

В ходе моего исследования участие принимали:

5-ые классы: Старов Иван, Романчук София, Борисов Кирилл, Киселёва Екатерина;

6-ые классы: Мокин Дмитрий, Ильинский Сергей;

7-ые классы: Копанцев Дмитрий, Кирейчев Сергей;

10-ый класс: Сеген Илья;

Учителя: Голятина Ирина Валентиновна, Машкова Раиса Евгеньевна, Суслова Марина Юрьевна, Игнатьева Надежда Борисовна.

Введение

Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.

Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11, у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.

Немногие умеют считать быстро и правильно. Исследование, проведенное в нашей школе, показало:

1. Зачем нужно уметь считать?

а) пригодится в жизни, например, считать деньги;(16%)

б) чтобы хорошо учиться в школе; (16%)

в) чтобы быстро решать; (16%)

г) чтобы быть грамотным; (52%)

д) не обязательно уметь считать.

2. Перечислите, при изучении, каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

а) математика; (80%)

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

б) да, несколько (85%);

в) нет, не знаю(15%).

4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.

А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

1.Способы быстрого умножения

1. СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа – единицам искомого произведения.

Рис. 1. Счёт на пальцах

2. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20

Можно очень просто умножать такие числа.

Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или

Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13. Ответ 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.

3. УМНОЖЕНИЕ НА 11

- Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

- Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Задание: Умножьте быстро 54 ∙ 11 (594)

Задание: Умножьте быстро 67∙ 11 (737)

4. УМНОЖЕНИЕ НА 22, 33, . 99

- Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, . 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Задание: Умножьте 18∙ 44

5. УМНОЖЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25, НА 125

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

Задание: умножьте 824∙25

Задание: умножьте 348∙50

&2. Способы быстрого деления

1. ДЕЛЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25

При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:

a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

&3. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

- Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

- Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

- Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Заключение

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Основные термины (генерируются автоматически): быстрый счет, устный счет, двузначное число, единица, быстрое вычисление, быстрое сложение, быстрое умножение, сумма цифр, вычисление, задание.

Приемы быстрого счета 5 класс доклад

1.1. Изменение счёта при появлении цивилизации

1.2. Первая литература по способам счёта.

Похожие статьи

Изучение приемов быстрого счета будущими учителями.

Использование схематической модели числа при формировании.

И снова о ментальной арифметике | Статья в журнале.

О применении устного счета на уроках математики

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных.