Правильные многогранники вокруг нас доклад
Обновлено: 19.05.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Среднее бюджетное общеобразовательное учреждение
Исследовательская работа по теме
г. Берёзовский 2015
Геометрия Когда наука достигает какой-либо вершины, с нее открывается обширная перспектива дальнейшего пути к новым вершинам, открываются новые дороги, по которым наука пойдет дальше.
Вавилов Сергей Иванович
Формирование представлений о правильных многогранниках, широте применения в разных предметных областях.
– наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.
Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена.
Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п.
Однако он не только пассивно наблюдал природу, но осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности накапливались геометрические сведения.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэте
В своей книге Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников. Он описывает структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра додекаэдра в данном порядке.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед.
С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Мы можем наблюдать, что многогранники встречаются и окружают нас повсюду.
Теория многогранников является современным разделом математики.
Объект исследования – раздел математики – геометрия Предмет исследования – многогранники.
Цель: изучение многогранников, встречающихся в природе, их классификации.
Показать значение многогранников в истории.
Показать значение многогранников в математике.
Показать значение многогранников в различных науках (таких как химия, биология)
Показать значение многогранников в искусстве.
Рассмотреть связь многогранников с устройством мира по Кеплеру.
Ознакомиться с гипотезой о строении Земли.
Показать связь математики и жизни, используя электронные средства; сделать сухие факты, изложенные математическим языком более яркими и интересными; понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу.
изучить необходимую литературу;
ознакомиться с историей изучения многогранников;
уточнить признаки классификации многогранников;
научиться моделировать многогранники.
Гипотеза: если, узнаем историю изучения многогранников, их классификацию, сможем моделировать их на практике, находить в окружающем мире.
Практическая значимость: изготовление объёмных фигур, развитие логического мышления и применение его на практике в решении задач на нахождение объёмов и построение сечений в многогранниках.
Глава 1. История и понятие многогранников
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти нарезных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.
Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языкематематики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.Первоосновам бытия – огню, воде земле, воздуху, придавалась форма соответственно тетраэдра, икосаэдра, куба, октаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.
Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.
Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники.
Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.
Существует еще один многогранник-14, который некоторые ученые причисляют к полуправильным
псевдоромбооктаэдр. Спорный вопрос заключается в том, что в нем нарушена симметрия, поэтому он не соответствует некоторым определениям полуправильных многогранников.
Иоганн Кеплер - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между 5 правильными многогранниками и 6 открытыми к тому времени планетами солнечной системы.
Согласно этому предположению в сферу орбиты Сатурн можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марс. В сферу орбиты Марс вписывается додекеэдр, в который вписывается сфера орбиты Земля, а она описана коло икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венера, сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Другим выдающимся вкладом Кеплера в геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Всего их четыре; два других нашел французский математик Луи Пуансон в 1809 г. большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр, они называются также телами Кеплера-Пуансо.
Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Правильные многогранники вокруг нас. Презентация на заданную тему содержит 18 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Содержание. 1.Определение правильных многогранников. 2.Существование пяти типов правильных многогранников. 3.Правильный тетраэдр. 4.Куб (гексаэдр). 5.Октаэдр. 6.Додекаэдр. 7.Икосаэдр. 8.Историческая справка. 9.Правильные многогранники в природе и на практике. 10.Список литературы.
Правильный тетраэдр ( четырехгранник ). У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра; число вершин-4; число ребер –6; число граней –4.
Октаэдр (восьмигранник ). У октаэдра грани –правильные треугольники; в каждой вершине сходится по четыре ребра; число вершин -6; число ребер -12; число граней –8.
Додекаэдр (двенадцатигранник). У додекаэдра грани - правильные пятиугольники; в каждой вершине сходится по три ребра; число вершин –20; число ребер –30; число граней –12.
Икосаэдр (двадцатигранник ). У икосаэдра грани –правильные треугольники; в каждой вершине сходится по пять ребер; число вершин –12; число ребер –30; число граней –20.
Правильные многогранники в природе и на практике. Формы правильных многогранников имеют природные кристаллы, например: куб –монокристалл поваренной соли NaCl, октаэдр –монокристалл алюмокалиевых квасцов; форму додекаэдра – кристаллы пирита –сернистого колчедана FeS. Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой правильные многогранники.
Исследовательская деятельность обучающихся — деятельность учащихся, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным решением.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Исследовательская работа по теме
Учащийся 9 В класса МОУ СШ №38
учитель математики МОУ СШ №38
г. Волгоград 2016
Глава 1. История и понятие многогранников
Глава 2. Связь геометрии и природы
Глава 3. Область применения многогранников
3.1. Многогранники в живописи
3.2. Многогранники в архитектуре
Глава 4. Практическая часть.
Геометрия Когда наука достигает какой-либо вершины, с нее открывается обширная перспектива дальнейшего пути к новым вершинам, открываются новые дороги, по которым наука пойдет дальше.
Вавилов Сергей Иванович
Формирование представлений о правильных многогранниках, широте применения в разных предметных областях.
– наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение геометрических фигур. Она возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека.
Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена.
Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п.
Однако он не только пассивно наблюдал природу, но осваивал и использовал ее богатства. В процессе практической деятельности накапливались геометрические сведения.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэте
В своей книге Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников. Он описывает структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра додекаэдра в данном порядке.
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед.
С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Мы можем наблюдать, что многогранники встречаются и окружают нас повсюду.
Теория многогранников является современным разделом математики.
Объект исследования – раздел математики – геометрия Предмет исследования – многогранники.
Цель: изучение многогранников, встречающихся в природе, их классификации.
Показать значение многогранников в истории.
Показать значение многогранников в математике.
Показать значение многогранников в различных науках (таких как химия, биология)
Показать значение многогранников в искусстве.
Рассмотреть связь многогранников с устройством мира по Кеплеру.
Ознакомиться с гипотезой о строении Земли.
Показать связь математики и жизни, используя электронные средства; сделать сухие факты, изложенные математическим языком более яркими и интересными; понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу.
изучить необходимую литературу;
ознакомиться с историей изучения многогранников;
уточнить признаки классификации многогранников;
научиться моделировать многогранники.
Гипотеза: если, узнаем историю изучения многогранников, их классификацию, сможем моделировать их на практике, находить в окружающем мире.
Практическая значимость: изготовление объёмных фигур, развитие логического мышления и применение его на практике в решении задач на нахождение объёмов и построение сечений в многогранниках.
Глава 1. История и понятие многогранников
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти нарезных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.
Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языкематематики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Первоосновам бытия – огню, воде земле, воздуху, придавалась форма соответственно тетраэдра, икосаэдра, куба, октаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.
Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.
Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники.
Термин курносый означает, что каждую грань многогранника окружили треугольники, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник.
Существует еще один многогранник-14, который некоторые ученые причисляют к полуправильным
псевдоромбооктаэдр. Спорный вопрос заключается в том, что в нем нарушена симметрия, поэтому он не соответствует некоторым определениям полуправильных многогранников.
Иоганн Кеплер - немецкий математик, астроном, оптик, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между 5 правильными многогранниками и 6 открытыми к тому времени планетами солнечной системы.
Согласно этому предположению в сферу орбиты Сатурн можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марс. В сферу орбиты Марс вписывается додекеэдр, в который вписывается сфера орбиты Земля, а она описана коло икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венера, сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.
Другим выдающимся вкладом Кеплера в геометрию многогранников является открытие им двух звездных правильных тел. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Всего их четыре; два других нашел французский математик Луи Пуансон в 1809 г. большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр, они называются также телами Кеплера-Пуансо.
Рассмотреть вопросы практического применения многогранников в жизни человека.
Ознакомится с видами многогранников и их свойствами.
Рассмотреть современные гипотезы обустройства мира.
Изучить связь многогранников с живой природой.
Рассмотреть практическое применение многогранников.
Вопрос: Сможет ли человек в наше время жить без многогранников?
Древнегреческий ученый и философ Платон считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.
Поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами.
Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять.
Содержимое разработки
Правильные многогранники вокруг нас
С. АЛЕКСАНДРОВ ГАЙ
Касимова Лидия Владимировна
ЦЕЛЬ: Рассмотреть вопросы практического применения многогранников в жизни человека.
- Ознакомится с видами многогранников и их свойствами.
- Рассмотреть современные гипотезы обустройства мира.
- Изучить связь многогранников с живой природой.
- Рассмотреть практическое применение многогранников.
- Вопрос : Сможет ли человек в наше время жить без многогранников ?
В своих философских теориях правильные многогранники использовали:
Древнегреческий ученый и философ Платон считал, что эти тела олицетворяют сущность природы.
Поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами.
Пифагорейцы уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять .
Признаки правильных многогранников
Многогранник – выпуклый
Все его грани – равные правильные многоугольники
В каждой вершине сходится одинаковое число граней
Равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.
Составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно: сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Гексаэдр или куб
Составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно: сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.
Составлен из 8 равносторонних треугольников.
Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.
Следовательно:
сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно:
сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º .
Составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно:
сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º .
Правильный многогранник
Эйлерова характеристика всякого многогранника нулевого рода равна 2. Иначе говоря, между Г , В и Р любого многогранника нулевого рода имеет место зависимость .
В – число вершин, Г – число граней, .Р – число ребер
Гипотеза Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников .
- Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр
- Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр.
- Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр .
- Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр
- Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб .
- Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.
Современные гипотезы обустройства мира
- Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов.
- Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
- Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
- Существование пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды.
- А так как пятой стихии в природе не было, то по их учению додекаэдр представлял собой всю Вселенную, то есть они считали, что мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.
В С Е ЛЕН Н А Я
полуправильные
многогранники
икосододекаэдр
кубооктаэдр
усеченный тетраэдр
усеченный октаэдр
полуправильные
многогранники
усеченный куб
усеченный додекаэдр
ромбокубооктаэдр
курносый додекэдр
ромбоусеченный кубооктаэдр
ромбоикосододекаэдр
ромбоусеченный икосододекаэдр
курносый куб
Многогранники в архитектуре
Музей Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава
Великая пирамида в Гизе
Александрийский маяк
Фаросский маяк
Один из Японских музеев
Многогранники в родном крае
Многогранники в природе
- Правильные многогранники – самые выгодные фигуры.
- Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками.
- Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов (поваренная соль, сернистый колчедан).
Кристалл поваренной соли
Кристаллическая решетка поваренной соли имеет кубическую структуру.
Кристаллы в форме октаэдра
Кристаллы в форме призм
- Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминаетикосаэдр.
- Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.
Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.
Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.
Головка вируса-бактериофага также имеет форму икосаэдра
Изучив работы великих математиков, я пришла к выводу, что этот вопрос полностью на современном этапе не изучен.
Поставленная цель была достигнута, задачи выполнены. Для себя я сделала вывод, что многогранники окружают нас. И мы живем среди них, любуясь их красотой и совершенством.
-75%
Читайте также: