Парадоксы в математике доклад

Обновлено: 07.07.2024

Проблема: Мой любимый предмет – математика. Однажды на уроке математики нам учитель предложила рассмотреть решение однойзадачи, и мы пришли к некоторому так называемому софизму, меня заинтересовали математические неожиданности, которые возникают при решении некоторых задач. Как найти ошибки в доказательствах, рассуждениях в процессе решения нестандартных задач такого вида?

Цель: рассмотреть основные виды математических софизмов и парадоксов, причины их возникновения и восприятие учениками.

Познакомиться с софизмами и парадоксами

Изучить историю возникновения и их виды

Научиться распознавать ошибки в них

Сделать вывод по результатам проведенной работы.

Гипотеза исследования : математика без софизмов и парадоксов существовать не может.

Предмет исследования: Математические софизмы и парадоксы

Новизна: знакомство с новыми для нас понятиями

Методы, используемые при проведении работы: изучение источников: литературы, энциклопедий, сайтов в Интернете, синтез полученной информации и ее анализ, анкетирование.

Актуальность темы заключается в том, что разбор софизмов и парадоксов прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Эта тема для меня очень интересная, развивающая познавательный интерес, любознательность к урокам математики. В школьном курсе математики не используются софизмы и парадоксы. Данный материал можно использовать на уроках математики, что расширит кругозор учащихся и покажет значение парадоксов и софизмови в области математики.

Для написания проекта я использовала различные пособия, энциклопедии по математике, а также использовались и Интернет-ресурсы.В ходе работы приходилось брать много информации из Интернета, справочной литературы.

2. Понятие софизма

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Софизмы связаны чаще всего как с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью его сделать надлежащие выводы, так и с его стремлением охватить то, что пока ему неподвластно. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или даже невежества, нежелающего признать своё бессилие и уступить знанию.

3. История возникновения софизмов

Софизмы появились ещё в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов – платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и особенно риторике (науке и искусству красноречия). Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) всё, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приёмы.

Софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин "софизм" впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость.

Характерно, что для широкой публики софистами были также Сократ, Платон и сам Аристотель. Не случайно Аристофан в комедии "Облака" представил Сократа типичным софистом. В ряде диалогов Платона человеком, старающимся запутать своего противника тонкими вопросами, выглядит иногда в большей мере Сократ, чем Протагор.

Широкую распространенность софизмов в Древней Греции можно понять, только предположив, что они как-то выражали дух своего времени и являлись одной из особенностей античного стиля мышления.

Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э. С тех пор она продолжается до настоящего времени. Среди наших современников можно встретить немало людей, которые поддерживают софистов. "Сколько людей, столько и мнений", – говорят они. Однако и в нынешнюю эпоху есть те, которые вслед за Сократом считают, что, хотя мир и человек сложны и многогранны, тем не менее, нечто объективное и общезначимое существует, точно так же, как существует солнце в небе – одно для всех.

В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и прекрасная школа культуры математических вычислений.

4. Алгебраические и арифметические софизмы

Арифметика - наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Алгебраические софизмы - намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Докажем, что число 0 (нуль) больше любого числа а.

Если число а отрицательное, то утверждение очевидно.

Пусть а — сколь угодно большое положительное число. Ясно, что а - 1 Геометрические софизмы основаны на ошибках связанных с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Докажем, что Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим:

b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc.

Получим : b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),

откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Ошибка: Ошибка заключается в том, что в выражении b(b-a-c )= - c(b-a-c) производится деление на 0

Логические софизмы

Логические софизмы - софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях. Они выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Приведем некоторые примеры:

Полупустое и полуполное

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

" Софизм учёбы "

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.Так для чего учиться?

Понятие парадокса

Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным". Само греческое слово, от которого произведено слово "парадокс", буквально означало "необычное, странное, невероятное, замечательное".Парадокс в более узком и более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как "чистая математика" - абстрактная наука, построенная на теориях, которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом часто возникают ситуации, в которых рассуждения, применяющиеся совсем недавно и считающиеся строгими, будут требовать дополнительного обоснования. Тогда математик просто излагает свои идеи в том виде, как они у него возникают.

Многообразие парадоксов

Изучая и анализируя информацию по теме парадоксов, я пришла к выводу, что в настоящий момент существует немало их классификаций и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы – это как попытаться объять необъятное. Они существуют повсюду и являются неотъемлемой частью любой науки. Я решила рассмотреть более понравившиеся мне парадоксы.

Геометрические парадоксы

Задача про треугольник

Дан прямоугольный треугольник, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Для начала убедимся, что все фигуры совпадают. Они специально для этого раскрашены в разные цвета.Чем же различаются картинки? Зеленая фигурка осталась на месте, значит, ее выкинем из рассмотрения. Желтая сдвинулась, но не понятно, что это изменило, поэтому идем дальше. Треугольники поменялись местами.

Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках (рис. 2), одной из них стал и "невозможный треугольник".

Эту фигуру называют еще "Лестницей Пенроуза" (по имени ее создателя), а также "Вечной лестницей" или "Непрерывно восходящей и нисходящей тропой".

Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он о кажется в начале пути.

Логические парадоксы

В одной деревне жил единственный парикмахер-мужчина. Здесь был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя?Кажется, что не может, так как это запрещено указом.Но наряду с этим, если он не бреет себя, то попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Этот древнегреческий парадокс имеет множество вариаций. Приведём одну из них.

Практическая значимость

Анализ учебников показал, что задания подобного типа встречаются редко.(Приложение 1)

После изучения материала, я выяснила, что парадоксы похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречиям. Главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеянии лжи. Прослеживая историю математики, можно сказать, что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет . Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо они являются двигателями науки.

О математических софизмах и парадоксах можно говорить бесконечно много. Я выяснила, что понять софизм как таковой получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни. Исследовать софизмы и парадоксы действительно очень интересно и необычно.

Благодаря этой теме можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои суждения и логические объяснения.

Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрела лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Я продолжу изучение этой темы в дальнейшем.

Список литературы

Проанализировав ответы на вопросы, мы получили следующие результаты:

Из графика видно, что практически все ученики не знакомы с понятием софизма

С понятием парадокс учащиеся сталкивались чаще, чем с понятием софизм.

3 вопрос: Возьмём числовое равенство: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5=6. Как Вы это объясните? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

В этой задаче на внимательность нужно было найти конкретную математическую ошибку- 7+2-9=0. На ноль делить нельзя. С данной задачей справились 1 ученик5 а класса и 4 - 7 класса. При этом 10 учащихся все же нашли наличие ошибки в решении, но не указали ее точно.

4 вопрос: Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения

на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает,

что исходное уравнение не имеет корней. Допущена ли здесь ошибка, и если да, то какая? (Ошибки нет/ Допущена ошибка в условии/ Допущена ошибка в решении (указать ошибку))

Ответом данной задачи было: Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0. Верно на этот вопрос ответили 1 5-классник и 4 7-классника, при этом наличие ошибки отметили 22 ученика обоих классов.

(Говорит правду/ Лжет/ Решить невозможно).

Математические парадоксы противоречат здравому смыслу и кажутся невероятными. Теоремы, которые основаны на логике, могут быть странными и сложными для понимания. Какие из математических парадоксов вызывают у общества самый живой интерес?

Парадокс выворачивания сферы

В чем суть парадокса выворачивания сферы? Она стоит в том, что чашка эквивалентна тороиду (поверхности вращения), которая внешне напоминает пончик. Это доказывает топология — раздел математики по изучению явления непрерывности, свойств пространства и типов деформаций, которые происходят без разрывов и склеиваний.

Примером объекта, который изучает топология, служит лента Мёбиуса. У ее поверхности только одна сторона и один край. Проще говоря, пончик можно вывернуть так, чтобы он превратился в чашку кофе, используя скручивание и растягивание. Для этого достаточно проделать следующие действия:

Установить пончик вертикально.
Расширить его в одну сторону.
Вдавить верхушку с этой же стороны.

Топологи давно пытаются ответить на вопрос, можно ли вывернуть сферу. Это кажется невозможным, но есть видео, наглядно демонстрирующее, что это реально. Способ выворачивания сфер создал французский тополог Бернард Морин.

Парадокс ограниченности групп орнаментов

В чем суть математического парадокса ограниченности групп орнаментов? Если варианты рисунков на обоях кажутся людям неограниченными, то это заблуждение. В архитектуре и декоративном искусстве существует всего семнадцать групп орнаментов (групп плоской симметрии, плоских кристаллографических групп).

Говоря математическим языком, количество геометрических шаблонов конечно. Сгруппировать по этим шаблонам можно разные рисунки, это могут быть:

Рисунки любого художника-графика, например Маурица Корнелиса Эшера.
Изображения на обоях.
Дизайны керамической плитки.

Группы орнаментов — это двумерные группы симметрии. Неважно, какого размера, цвета, стиля или ориентации рисунок, он все равно легко впишется в одну из семнадцати групп.

Группа плоской симметрии : Pixabay

Парадокс кучи

В чем суть математического парадокса кучи? Он состоит в том, что невозможно точно определить, в какой момент одно зернышко становится кучей или, наоборот, когда куча перестанет быть кучей, если удалять из нее по одному зерну.

Получается, что добавление по одному зернышку к совокупности не становится неоспоримой предпосылкой для образования кучи. Так в какой момент времени одно зернышко становится тем, что называют кучей?

Парадокс Галилея

В чем суть математического парадокса Галилея? Натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел. Пример: во множестве 1, 2, 3, 4 содержится столько же элементов, как и во множестве, которое было образовано при возведении цифр первого множества в квадрат: 1, 4, 9, 16.

Некоторые числа — точные квадраты других целых чисел.
У каждого натурального числа есть его точный квадрат.

Парадокс Галилея : Pexels

Парадокс спирали простых чисел

В чем суть математического парадокса спирали простых чисел? Американский и польский математик Станислав Улам на одном скучном докладе решил развлечь себя рисованием. Он расчертил лист бумаги вертикальными и горизонтальными линиями, решив набросать шахматный этюд. Но передумал и начал нумеровать клетки. Центральную обозначил единицей и стал писать цифры в порядке возрастания по спирали влево.

Вскоре он обнаружил закономерность: если записывать целые числа по спирали, простые числа (делятся на единицу и на себя), выстраиваются вдоль диагональных линий. При этом они лежат на одних диагоналях, но их практически нет на других. Интересно, что закономерность наблюдается вне зависимости от того, с какого числа начать писать цифровую спираль.

Парадокс дней рождения (принцип Дирихле)

В чем суть математического парадокса дней рождения? Если взять произвольную группу из 23+ человек, то вероятность совпадения дат дня рождения у 2 членов группы превысит 50%. Когда число людей в группе станет более 60, вероятность совпадения достигнет 99%. В группе численностью более 367 человек у 2 человек обязательно будут дни рождения в один и тот же день.

Само утверждение может показаться неочевидным, но математические расчеты подтверждают его справедливость, и в этом состоит суть парадокса дней рождения.

Парадокс дней рождения (принцип Дирихле): Pixabay

Парадокс Тристрама Шенди

В книге герой сетует на то, что для изложения первого дня жизни ему понадобился целый год, и столько же он потратил на описание второго дня. Он считает, что автобиографический материал будет накапливаться быстрее, чем он будет его обрабатывать и излагать на бумаге. Так его биография никогда не будет завершена.

Дихотомия Зенона, или парадокс математической модели движения

В чем суть математического парадокса теории движения? Для преодоления всего пути необходимо пройти его половину. Но чтобы преодолеть данную половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины. И так будет продолжаться до бесконечности. Вывод: движение невозможно.

Парадокс математической модели движения: Pixabay

Парадокса маляра

В чем суть математического парадокса маляра? Фигура с бесконечной площадью поверхности может быть окрашена конечным количеством краски. Как объясняет А. А. Панов, утверждение строится на том факте, что вся фигура покрывается слоем краски неодинаковой толщины. В этом и состоит суть малярного парадокса.

Предполагается, что каждый последующий сегмент фигуры будет покрыт все более тонким слоем краски. Это возможно, если фигура будет образованна в результате вращения вокруг горизонтальной оси кривой функции y=1/х (рог или конус).

Используя расчеты площади и объема такой фигуры, можно прийти к выводу, что бесконечно длинный рог имеет конечный объем, и он равен 2π. Площадь поверхности такой фигуры будет бесконечной.

Математические парадоксы хороши тем, что заставляют задуматься. Они наглядно демонстрируют, что математика — интересная наука, которая применима к повседневности. Изучая интересные математические парадоксы можно расширить мировоззрение, найти ответы на вопросы и стать автором новых научных открытий.

Узнавайте обо всем первыми

Подпишитесь и узнавайте о свежих новостях Казахстана, фото, видео и других эксклюзивах.

Онлайн-школа Skyeng Math выбрала для вас великолепную пятерку парадоксов, которые занимают умы математиков долгие годы — десятилетия, а то и века. Не верьте глазам своим: цифры не то, чем кажутся.

Парадокс Галилея

Даже если вы прогуляли половину школьных уроков математики, вы точно помните, что такое натуральные числа: 1, 2, 3 и так далее. Вы помните и то, что числа могут быть четными — то есть делиться на 2 — и нечетными. Каких чисел больше — натуральных или четных? На первый взгляд ответ очевиден: конечно, натуральных. Если только каждое второе натуральное число — четное, то четных должно быть вдвое меньше, чем натуральных. Но на самом деле их равное количество! Это доказал еще Галилео Галилей, ученый XVII века, который был не только астрономом, но и математиком.

Представьте две строки чисел: сверху — все натуральные числа, снизу — числа, полученные умножением на два каждого числа из верхней строчки. Примерно вот так:

Количество чисел бесконечно, а значит и продолжать эти строки можно бесконечно. И под каждым натуральным числом будет стоять четное. Стало быть, количество четных и натуральных чисел всегда будет одинаковым.

Народный цирюльник, Индия

Парадокс брадобрея

В деревне живет цирюльник, который согласно старинному предписанию бреет лишь тех жителей деревни, которые не бреются сами. Но вот вопрос: может ли брадобрей брить самого себя? Если он не бреется, значит он должен воспользоваться услугами брадобрея — то есть самого себя. Но если он будет бриться самостоятельно, он не имеет права себя брить. Этот парадокс сформулировал Бертран Рассел, один из виднейших математиков XX века.

Парадокс лжеца

Парадокс Гамлета

Парадокс второго ребенка

В семье Смитов подрастают двое детишек. Один из них мальчик. Какова вероятность, что второй ребенок — тоже мальчик? Неискушенный читатель скажет, что 50/50, ведь он либо мальчик, либо девочка, а следовательно, шансы равны.

Но ведь в семье с двумя детьми есть четыре варианта комбинаций: две девочки, два мальчика, старший брат и младшая сестра или старшая сестра и младший брат. Очевидно, что первый вариант — это не про Смитов: у них точно есть мальчик. Остаются три возможных варианта: в одном из них второй ребенок — мальчик, в двух — девочка. И не нужно быть профессором математики, чтобы увидеть: вероятность того, что второй ребенок Смитов тоже мужского пола, составляет всего один из трех, то есть примерно 33%, а не 50%.

Не убеждены? Ничего страшного, это решение не вполне убеждало даже математика Мартина Гарднера, который и создал этот парадокс в 1959 году. В зависимости от формулировки ответы могут быть разными, и математики до сих пор спорят о правильной цифре.

Вот видите, математика — это вовсе не сухие формулы. Сами математики вообще считают, что это самая увлекательная и красивая штука в мире. Хотите убедиться в этом на собственном опыте? Записывайтесь на вводное занятие в Skyeng Math и начинайте заниматься онлайн с личным учителем на интерактивной платформе. Здесь умеют найти подход к любому ученику и восполнить даже самые серьезные пробелы в знаниях.

Цель проекта - нахождение математических задач, приводящих к парадоксам, исследование решения этих задач, нахождение ошибок, подготовка презентации по теме для использования на уроках математики.

Исследовательский

проект по математике

учитель математики Струева Светлана Ивановна.

Задача, которая заинтересовала меня 3

Что такое "софизм" и "парадокс"? 4

Экскурс в историю 5

Классификация математических неожиданностей 5

Алгебраические софизмы 6

Геометрические софизмы 7

Арифметические софизмы 7

Логические софизмы 8

Многообразие парадоксов 9

Парадокс разности квадратов 9

Парадокс парикмахера 9

Основные типы геометрических парадоксов 10

"Невозможный треугольник " 10

"Бесконечная лестница" 10

"Космическая вилка " 11

"Сумасшедший ящик" 11

Имп-Арт - искусство парадоксальных картин 12

Практическая значимость 14

Список литературы 15

После того, как учительница на уроке алгебры дала решение одной задачи и мы пришли к некоторому так называемому софизму, меня заинтересовали математические неожиданности, которые возникают при решении некоторых задач. Возникло предположение, что такие неожиданности подстерегают нас не только в алгебре, но и в арифметике, и в геометрии.

Применение софизмов и парадоксов на уроках математики могли бы, на мой взгляд, разнообразить уроки математики и вызвать интерес учащихся к этому предмету.

Цель проекта: найти математические задачи, приводящие к парадоксам, исследовать решение этих задач, найти, где скрыты ошибки, подготовить презентацию по этой теме для использования на уроках математики.

в чём их отличие;

классифицировать математические неожиданности;

научиться находить ошибки в готовых решениях математических задач;

определить практическую значимость исследования

Методы исследования: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Задача, которая заинтересовала меня

"Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. "

Представим, что а дм – длина спички и b дм – длина столба. Пусть разность между b и a равна c .

b - a = c, b = a + c.

Перемножим левые и правые части этих равенств, получим:

b 2 - ab = ca + c 2 .

Из обеих частей вычтем bc. Получим:

b 2 - ab - bc = ca + c 2 – bc

b(b - a - c) = - c(b - a - c)

Откуда вытекает, что

b = - c, но c = b – a

b = a - b, или a = 2b.

Ответ: В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на

(b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0, а на нуль делить нельзя. Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

Что такое "софизм" и "парадокс"?

История математики полна интересных и неожиданных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова).

Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.

Экскурс в историю

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., которые достигли большого искусства в логике.

Классификация математических неожиданностей

Разбор и решение разнообразных математических задач, особенно нестандартных, помогает развивать логику и смекалку. Именно к таким задачам относятся математические софизмы. В этом разделе работы я рассмотрю четыре типа математических софизмов: алгебраические, геометрические, арифметические и логические.

4.1. Алгебраические софизмы

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий к числу старейших ветвей этой науки наряду с арифметикой и геометрией. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Один из алгебраических софизмов уже был мною рассмотрен ранее. Приведём ещё пример: Найти двузначное число, обладающее следующими свойствами: цифра десятков на 4 меньше цифры единиц, а если из числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначим цифру десятков через х, а цифру единиц - через у.

Составим систему уравнений:

Во второе уравнение подставим значение х из первого, получим:

а после преобразований:

Х и у мы найти не смогли, зато мы узнали, что 36=27. Что это значит?

Это означает, что не существует двузначного числа, удовлетворяющего поставленным условиям, и что уравнения, которые мы составили, противоречат друг другу.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

"Катет равен гипотенузе"

Угол С равен 90˚, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, прямая ОК перпендикулярна СА, ОК и ВД пересекаются в точке О, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Получаем, что треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК равен углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL. Получаем, что ВА = ВС.

Где же ошибка?

Ошибка заключается в том, что рассуждая о том, что катет равен гипотенузе, мы опирались на ошибочный чертеж, так как точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

" Дважды два - пять! "

Рассмотрим следующее очевидное равенство в качестве исходного соотношения: 4:4= 5:5 (1)

Вынесем за скобки общий множитель из каждой части равенства, получим:

Зная, что 1:1=1, устанавливаем из соотношения (2):

Где же ошибка?

В равенстве (2) 4 и 5 не являются множителями, которые мы вынесли за скобки.

Логические софизмы

"Софизм учёбы"

(песенка, сочиненная английскими студентами)

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

"Софизм Кратила"

Диалектик Гераклит, провозгласил тезис "все течет" и пояснил, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку (образ природы), ибо, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. А его ученик Кратил, из утверждения своего учителя сделал такие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, потому что пока ты входишь, она уже изменится. Поэтому Кратил предлагал не называть вещи, а указывать на них: пока произносишь название, вещь уже станет иной.

Многообразие парадоксов

5.1. Парадокс разности квадратов

1) Имеем равенство а² - а² = а² - а²;

2) В левой части вынесем общий множитель за скобки, а в правой воспользуемся формулой разности квадратов а(а - а) = (а + а)(а – а);

3) Разделим обе части на (а – а), получим а = а + а;

Парадокс парикмахера

Кажется, что не может, так как это запрещено указом.

Но наряду с этим, если он не бреет себя, то попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.

Основные типы геометрических парадоксов

Первую невозможную фигуру в 1934 году изобразил шведский художник Оскар Реутерсвард.

Три картины художника шведское правительство решило увековечить на почтовых марках, одной из них стал и "невозможный треугольник".

А этот невозможный объект с тремя (или двумя?) зубцами в 1964 году стал популярен у инженеров и любителей головоломок.

"Сумасшедший ящик"

"Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко.

"Сумасшедший ящик", как и многие другие невозможные объекты, основан на неправильных соединениях, которые допущены при рисовании.

Имп-Арт - искусство парадоксальных картин

Многие известные художники рисовали работы, в основе которых лежали геометрические парадоксы. Эти работы выделяют в отдельное направление изобразительного искусства - "имп-арт", от английских слов impossible ("невозможный") и art ("искусство").

Чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении, художнику требуется определённое мастерство. Слова М.К. Эшера "Рисовать – значит обманывать" исполнены глубокого смысла. Именно "невозможные фигуры" дают почувствовать масштабы этого обмана.

Литография М.Эшера "Водопад" основана на фигуре "невозможного треугольника". Здесь два "невозможных треугольника" соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, которая работает по типу вечного двигателя и нарушается закон сохранения энергии.

Художник М. Эшер в своей литографии "Восхождение и нисхождение" в 1960 году с успехом воспользовался "Бесконечной лестницей".

"Бесконечная лестница" аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи движутся непрерывно по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они по невозможному пути идут навстречу друг другу. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз.

В знаменитой гравюре М. Эшера "Бельведер" (1958 год) сидящий мальчик держит "невозможную коробку", которая была непосредственным предшественником "сумасшедшего ящика". Предшественником же невозможной коробки Эшера был, в свою очередь, "куб Неккера".

Итак, в процессе работы:

я узнал, что называется "софизмом "и "парадоксом", и в чём их отличия;

проклассифицировал софизмы в соответствии с разделами математики, к которым они принадлежат;

рассмотрел четыре основных вида геометрических парадоксов, которые вызвали у меня особый интерес, так как нашли своё отражение в имп-арт – искусстве парадоксальных картин.

Практическая значимость

Работая над софизмами, я научился находить ошибки в неверных решениях, например, с осторожностью отношусь к делению на выражение (не равно ли оно нулю?). В геометрических задачах, в первую очередь, обращаю внимание на то, правильно ли сделан рисунок. Я знаю, что на олимпиадах и на ОГЭ по математике мы встречаемся с логическими задачами. После работы над данной темой мне они стали даваться легче.

Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его на уроках, чтобы привить интерес учащихся к предмету. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Список литературы

А. Г. Мадера, Д. А. Мадера " Математические софизмы", Москва, "Просвещение", 2003г.

Энциклопедический словарь юного математика.

Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К. "Ошибки в математических рассуждениях".

Перельман Я. И. " Занимательная математика".

Аменицкий Н. "Математические развлечения и любопытные приёмы мышления". М.,1912г.

Богомлов С. А. "Актуальная бесконечность " М.; Л., 1934г.

Горячев Д. Н., Воронец А. Н. "Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики", М., 1903.

Читайте также: