Октаэдр доклад 5 класс

Обновлено: 05.07.2024

Презентация на тему: " 9. Октаэдр (okto – восемь ). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой." — Транскрипт:

2 Октаэдр (okto – восемь ). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани. ( Октаэдр – одно из пяти трехмерных тел, известных под общим названием Платоновы тела.)

4 Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра

5 Ребро (12 ) Треугольная грань (8) Вершина (6)

6 Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:

7 Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

8 Радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

9 Сумма ребер октаэдра можно найти по формуле( а – длина ребра октаэдра ):

11 Октаэдр в природе Многие природные кубические кристаллы имеют форму октаэдра. Это алмаз, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.

12 Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.).

13 МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОКТАЭДРА СОСЕДНИХ ГРАНЕЙ

14 Известный архитектор Р. Б. Фуллер создал систему заполнения пространства с помощью 2-х видов Платоновых тел: тетраэдры и октаэдры. Решетка Фуллера (изящная решетка) нашла широкое применение в строительных конструкциях, созданных архитектором Р.Б. Фуллером. Система Фуллера создается из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму правильных тетраэдров и октаэдров. Знаменитые сетчатые перекрытия Фуллера – это решетчатые конструкции, в которых максимальная жесткость достигается при минимальных массе и стоимости.

16 Некоторые художники использовали в изображениях своих картин октаэдры. Этот приём положил начало целому направлению в искусстве – импрессионизму. Выделяют следующих художников: О. Ренуар,, К. Писсарро, С. Сислеи,, С. Дали, Л. Да Винчи, Дюрер.

17 Работу выполнил блок 2: Орлов Вениамин Ильин Андрей Смирнов Денис Васильев Андрей Каримов Рома

Октаэдр — один из 5-ти выпуклых правильных многогранников - Платоновых тел.

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

На примере октаэдра легко проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой из вершин октаэдра сходятся 4 треугольника, т.о., сумма плоских углов у вершины октаэдра равна 240°. Из понятия правильного многогранника делаем вывод, что каждое ребра октаэдра имеет одинаковую длину, а грань - одинаковую площадь.

Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:

Радиус описанной сферы около октаэдра:

Радиус вписанной сферы около октаэдра:

Сумма длин всех ребер равна 24а.

Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .

Свойства октаэдра.

Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

У правильного октаэдра есть симметрия O_h, которая совпадает с симметрией куба.

Развёртка октаэдра.

Симметрия октаэдра.

3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие

вершины, 6 - квозь середины ребер.

Центр симметрии октаэдра - точка пересечения осей симметрии октаэдра.

3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.

6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Подготовила : Голенищева Зоя Тимофеевна МБОУ СОШ №19 г. Владивостока Правильный октаэдр

Заслуга Платона и в том, что он не разрешал использовать при построении никаких приспособлений, кроме циркуля и линейки. Это ограничение имело большое значение для развития геометрии. Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр - принято называть платоновыми телами, хотя он только упомянул о них в одной из своих работ, есть мнение, что они были известны задолго до Платона.

характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 8; Число рёбер примыка- ющих к вершине – 4; Общее число вершин – 6; Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Сумма длин всех ребер 24а Площадь поверхности октаэдра Для наглядности площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем октаэдра Радиус описанной сферы октаэдра где a - длина стороны. Радиус вписанной сферы октаэдра

Как и все правильные многогранники, октаэдр обладает симметрией. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.

Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров) Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда.

Спасибо за внимание!

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 610 897 материалов в базе

Материал подходит для УМК

36. Понятие правильного многогранника

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

03.05.2018 1121
PPTX 2.6 мбайт
18 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Голенищева Зоя Тимофеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

В геометрия, октаэдр (множественное число: октаэдры) - это многогранник с восемью гранями, двенадцатью ребрами и шестью вершинами. Этот термин чаще всего используется для обозначения обычный октаэдр, а Платоново твердое тело состоит из восьми равносторонние треугольники, четыре из которых встречаются на каждом вершина.

Правильный октаэдр - это двойственный многогранник из куб. Это исправленный тетраэдр. Это квадрат бипирамида в любом из трех ортогональный ориентации. Это тоже треугольник антипризма в любой из четырех ориентаций.

Октаэдр - это трехмерный случай более общей концепции кросс-многогранник.

Содержание

Правильный октаэдр

Размеры

Если длина ребра правильного октаэдра равна а, то радиус ограниченного сфера (тот, который касается октаэдра во всех вершинах)

и радиус вписанной сферы (касательная к каждой из граней октаэдра)

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

Ортогональные проекции

В октаэдр имеет четыре специальных ортогональные проекции, по центру, на ребре, вершине, грани и по нормали к грани. Второй и третий соответствуют букве B₂ и А₂ Самолеты Кокстера.

Ортогональные проекции

В центре	Край	Лицо Нормальный	Вершина	Лицо
Изображение
Проективный симметрия	[2]	[2]	[4]	[6]

Сферическая черепица

Октаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра √ 2 может быть размещен с центром в начале координат и вершинами на осях координат; то Декартовы координаты вершин тогда

( ±1, 0, 0 ); ( 0, ±1, 0 ); ( 0, 0, ±1 ).

В Икс–у–z Декартова система координат, октаэдр с центром координаты (а, б, c) и радиус р - множество всех точек (Икс, у, z) такие, что

| Икс − а | + | у − б | + | z − c | = р .

Площадь и объем

Площадь поверхности А и объем V правильного октаэдра реберной длины а находятся:

Таким образом, объем в четыре раза больше, чем у обычного тетраэдр с одинаковой длиной ребра, а площадь поверхности в два раза (потому что у нас 8, а не 4 треугольника).

Если октаэдр был растянут так, что он подчиняется уравнению

формулы для площади поверхности и объема расширяются, чтобы стать

Кроме того, тензор инерции вытянутого октаэдра равен

Они сводятся к уравнениям для правильного октаэдра, когда

Геометрические отношения

Интерьер сложный двух двойных тетраэдры октаэдр, и это соединение, называемое Stella Octangula, это его первая и единственная звездчатость. Соответственно, правильный октаэдр - это результат отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т.е. исправление тетраэдр). Вершины октаэдра лежат в средних точках ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим Платоновым телам. Также можно разделить ребра октаэдра в соотношении Золотая середина определить вершины икосаэдр. Это делается путем размещения векторов по краям октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбивая каждое ребро на золотую середину в направлении его вектора. Есть пять октаэдров, которые определяют любой данный икосаэдр таким образом, и вместе они определяют регулярное соединение.

Октаэдры и тетраэдры можно чередовать, чтобы сформировать однородные по вершине, ребру и граням мозаика пространства, называется октет фермы к Бакминстер Фуллер. Это единственная такая мозаика, за исключением обычной мозаики кубики, и является одним из 28 выпуклые однородные соты. Другой - мозаика октаэдров и кубооктаэдр.

Октаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что в каждой вершине встречается четное число граней. Следовательно, это единственный член этой группы, у которого есть зеркальные плоскости, которые не проходят ни через одну из граней.

Используя стандартную номенклатуру для Твердые тела Джонсона, октаэдр назовем квадратная бипирамида. Усечение двух противоположных вершин приводит к квадратный двустворчатый.

Октаэдр 4-связный, что означает, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся вершины. Это один из четырех 4-х соединенных симплициальный хорошо покрытый многогранники, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством являются пятиугольная дипирамида, то курносый дисфеноид, и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. [1]

Октаэдр также может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями, установленными на 1.

Равномерная окраска и симметрия

Есть 3 равномерные раскраски октаэдра, названного цветами треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

Октаэдр группа симметрии это O_час, порядка 48, трехмерное гипероктаэдрическая группа. Эта группа подгруппы включить D_3D (порядок 12) группа симметрии треугольного антипризма; D_4ч (порядок 16) группа симметрии квадрата бипирамида; и т_d (порядок 24) группа симметрии выпрямленный тетраэдр. Эти симметрии можно подчеркнуть разной окраской лиц.

Имя	Октаэдр	Исправленный тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольный антипризма	Квадрат бипирамида	Ромбический фузил
Изображение (Раскраска лица)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Кокстера		=
Символ Шлефли		г	с ср	фут < >+	ftr < >+ < >+
Символ Wythoff	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Симметрия	О_час, [4,3], (*432)	Т_d, [3,3], (*332)	D_3D, [2 + ,6], (2*3) D₃, [2,3] + , (322)	D_4ч, [2,4], (*422)	D_2ч, [2,2], (*222)
Заказ	48	24	12 6	16	8

Он имеет одиннадцать аранжировок сети.

Двойной

Огранка

Униформа тетрагемигексаэдр это тетраэдрическая симметрия огранка правильного октаэдра, разделяющего край и расположение вершин. У него четыре треугольных грани и три центральных квадрата.

Неправильные октаэдры

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному многограннику. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые однозначно соответствуют характеристикам правильного октаэдра.

Треугольный антипризмы: Две грани равносторонние, лежат на параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
Тетрагональный бипирамиды, в котором хотя бы один из экваториальных четырехугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр - это частный случай, когда все три четырехугольника представляют собой плоские квадраты. , невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин. , невыпуклый самопересечение гибкий многогранник

Другие выпуклые октаэдры

Некоторые более известные неправильные октаэдры включают следующее:

Семиугольный пирамида: Одно лицо - семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней - треугольники (обычно равнобедренные). Не все треугольные грани могут быть равносторонними. : Четыре грани тетраэдра усечены, чтобы стать правильными шестиугольниками, и есть еще четыре грани равностороннего треугольника, где каждая вершина тетраэдра была усечена. : Восемь граней совпадают воздушные змеи.

Октаэдра в физическом мире

Октаэдра в природе

Природные кристаллы алмаз, квасцы или же флюорит обычно октаэдрические, так как заполняющие пространство четырехгранно-октаэдрические соты.
Плиты камасит сплав в октаэдритметеориты расположены параллельно восьми граням октаэдра.
Многие ионы металлов координировать шесть лигандов в октаэдрической или искаженный октаэдрическая конфигурация. в никель-утюгкристаллы

Октаэдры в искусстве и культуре

Особенно в ролевые игры, это твердое тело известно как "d8", одно из наиболее распространенных многогранная игральная кость.
Если каждое ребро октаэдра заменить на одно-омрезистор, сопротивление между противоположными вершинами равно 1 / 2 ом, а между соседними вершинами 5 / 12 ом. [5]
Шесть музыкальных нот могут быть расположены на вершинах октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет диаду согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; видеть гексани.

Тетраэдрическая ферма

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров был изобретен Бакминстер Фуллер в 1950-х годах, известный как космический каркас, обычно считается самой сильной структурой для сопротивления консоль стрессы.

Связанные многогранники

Правильный октаэдр можно дополнить до тетраэдр добавлением 4 тетраэдров на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр.

Октаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
	т	г г	т т		рр s₂	tr	sr	ч	час₂ т	с с

=	=	=		= или же	= или же	=

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Это также один из простейших примеров гиперсимплекс, многогранник, образованный некоторыми пересечениями гиперкуб с гиперплоскость.

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли п>, переходя в гиперболическая плоскость.

Тетратетраэдр

Правильный октаэдр тоже можно считать исправленный тетраэдр - и может быть назван тетратраэдр. Это можно показать на двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическая симметрия.

Сравните эту последовательность усечения между тетраэдром и его двойником:

Семейство равномерных тетраэдрических многогранников
Симметрия: [3,3], (*332)							[3,3] + , (332)


	т	г	т		рр	tr	ср
Двойники к однородным многогранникам

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракт. Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять слоев выше расположены на высоте р, 3 / 8 , 1 / 2 , 5 / 8 , и s, куда р любое число в диапазоне 0 1 / 4 , и s любое число в диапазоне 3 / 4 ≤ s .

Октаэдр как тетратраэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаик с конфигурации вершин (3.п) 2 , переходя от мозаики сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. С орбифолдная запись симметрия *п32 все эти мозаики Конструкции Wythoff в пределах фундаментальная область симметрии, с образующими точками в правом углу области. [6] [7]

*п32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.п) 2
Строительство	Сферический			Евклидово	Гиперболический
Строительство	*332	*432	*532	*632	*732	*832.	*∞32
Квазирегулярный цифры
Вершина	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Тригональная антипризма

Как тригональная антипризмаоктаэдр относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.

Читайте также: