Логарифмические и показательные уравнения доклад

Обновлено: 02.07.2024

Понятие и отличительные особенности показательных уравнений и неравенств как такой разновидности математических категорий, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Сущность и основные характеристики, свойства алгоритмов и операции над ними.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	24.11.2016
Размер файла	31,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Показательные уравнения и логарифмы

1. Показательные уравнения

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ? 1, х - неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ? 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение 4 • 2х = 1.

Запишем уравнение в виде 22 • 2х = 20 - 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Решить уравнение 23х • 3х = 576.

Так как 23х = (23) х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х • 3х = 242 или в виде 24х = 242.

Отсюда получаем х = 2.

Решить уравнение 3х+1 - 2•3х - 2 = 25.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2 • (33 - 2) = 25 - 3х - 2• 25 = 25,

откуда 3х - 2 = 1, т.е. х - 2 = 0, х = 2.

Решить уравнение 3х = 7х.

Так как 7х ? 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7) х = 1, х = 0.

Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0.

Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 - 4а - 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах 1, то функция у = 3х является возрастающей.

Следовательно, при х 0.

Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t - 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t 1.

Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

Графически решить уравнение (1/3) х = х - 2/3.

1) Построим графики функций у = (1/3) х и у = х - 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ? 1. Проверка доказывает, что

х = 1 - корень данного уравнения:

(1/3) 1 = 1/3 и 1 - 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3) х убывающая, а функция у = х - 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй - больше 1/3; при х 1 и х х - 2/3 выполняется при х 1.

логарифм уравнение неравенство математический

2. Логарифмы

В те далекие времена когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины наверное еще не было ни монет ни кошельков. Но зато были кучи а также горшки корзины которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья Индии Китая Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду количество быков в стаде совокупность вещей учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0 a ? 1 уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log2 x = 3 b) log3 x = -1 c)

Решение. Используя утверждение 1 получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1 /3; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0 a ? 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

loga №1 ·№2 = loga №1 + loga №2 (a > 0 a ? 1 №1 > 0 №2 > 0).

Замечание. Если №1 ·№2 > 0 тогда свойство P2 примет вид

loga №1 ·№2 = loga |№1 | + loga |№2 | (a > 0 a ? 1 №1 ·№2 > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0 a ? 1 №1 > 0 №2 > 0).

Замечание. Если (что равносильно №1 №2 > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0 a ? 1 №1 №2 > 0).

Подобные документы

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.

курсовая работа [265,0 K], добавлен 12.10.2010

Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. Степенные и показательные функции и их свойства. Опыт проведения занятий со школьниками по теме: "Решение показательно-степенных уравнений и неравенств".

дипломная работа [595,4 K], добавлен 24.11.2007

Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.

реферат [118,9 K], добавлен 31.01.2009

Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.

контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011

Стандартные методы решений уравнений и неравенств. Алгоритм решения уравнения с параметром. Область определения уравнения. Решение неравенств с параметрами. Влияние параметра на результат. Допустимые значения переменной. Точки пересечения графиков.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃ ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N ₁ ·N ₂ = log_a N ₁ + log_a N ₂ (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если N ₁ ·N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N ₁ ·N ₂ = log_a |N ₁ | + log_a |N ₂ | (a > 0, a ≠ 1, N ₁ ·N ₂ > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то

log_a N 2s = 2s log_a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log_a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x ₂ ).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f (x ) = log_a g (x ) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h _{(x )} f (x ) = log_h _{(x )} g (x ) равносильно одной из систем

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	h (x ) > 0,		h (x ) > 0,
	h (x ) ≠ 1,		h (x ) ≠ 1,
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f (x ) = g (x ) иlog_a f (x ) = log_a g (x )

log_a [f (x )·g (x )] = b иlog_a f (x ) + log_a g (x ) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log₂ (5 + 3log₂ (x - 3)) = 3,	c) log_{(x - 2)} 9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1} (2x 2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, log_a b = c , b = a c и, следовательно,

5 + 3log₂ (x - 3) = 2 3

3log₂ (x - 3) = 8 - 5, log₂ (x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2 1 , x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 - 4x - 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x 2 - 8x + 15) = (2x + 1) 2

или, после элементарных преобразований,

x 2 + 6x -7 = 0,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24),

b) log₄ (x 2 - 4x + 1) - log₄ (x 2 - 6x + 5) = - 1 /₂

c) log₂ x + log₃ x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

x 2 - 4x + 1 = 1 /₂ (x 2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x 2 - 2x - 3 = 0

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂ x = log₆ 3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f (x ) > log_a g (x ) равносильно системе неравенств

	f (x ) > g (x ),
	g (x ) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g (x ) равносильно системе неравенств

f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h _{(x )} f (x ) > log_h _{(x )} g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x ) > 1,
		f (x ) > g (x ) > 0,
		0 log_a g (x ) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , 2 - x ) ≥ log₃ (x + 8);
		b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log₃ (x 2 - x ) ≥ log₃ (x + 8)	x 2 - x ≥ x + 8,		x 2 - 2x - 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

	x ≤ -2,
	x ≥ 4,	x (-8;-2] [4;+∞).
x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂ 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Оглавление: стр.

2.Глава I .Обзор литературы по теме проекта………………………..6-7

Раздел 1.Решение логарифмических и показательных уравнений

Раздел 2. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств…………………………………………17-19

Раздел 3. Доклад про логарифмическую спираль…………………….20-21

Раздел 4. Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный)…………..22-23

“ Из всех заслуживающих изучения первопричин и

действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом - Свет,

а из достопримечательностей Математики - разум

исследователя в несравненно большей

степени, чем всё остальное, возвышает

непреложность её доказательств.
Леонардо да Винчи

Краткая аннотация проекта:

Актуальность:

-Недостаток знаний у учащихся о решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств;

-низкие баллы по математике ЕГЭ-2015

Цель проекта – формирование у каждого ученика умения решать различные типы логарифмических и показательных уравнений и неравенств, эффективно подготовиться к сдаче ЕГЕ; .

Задачи исследования: познакомить и обобщить знания учащихся с разнообразием уравнений и неравенств , научить способам их решений по данной теме.

Предмет исследования: формы работ учащихся на уроках математики в процессе решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

Гипотеза исследования: строить образовательный процесс на учебном диалоге ученика и учителя; привитие умения пользоваться математическими формулами; формировать мыслительные и самостоятельные практические действия; повысить их умения решать уравнения и неравенства по данной теме.

Направляющие вопросы

Основополагающий вопрос

В чем заключаются методические рекомендации по развитию самостоятельности при обучении математике по данной теме?

Проблемные вопросы

Каковы теоретические основы развития самостоятельности при обучении математике?

Каковы нестандартные приемы решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств?

Каким образом прослеживается свойства логарифмической функции вне математической области?

Учебные вопросы

Каковы теоретические основы при обучении математике по данной теме?

Какова методика при изучении указанной темы?

Какие требования предъявляются к изучению указанной темы?

Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

И я научусь.

Конфуций

Метод проектов - далеко не открытие наших дней, он возник в начале прошлого века в США и используется не только в школьном образовании.

Что же такое проект?

- Проект – происходит от латинского project us .

Совокупность документов, необходимых для создания какого-либо сооружения или изделия;

Предварительный текст какого-либо документа;

Какой–либо замысел или план.

История и корни

Суть новаторской идеи заключалась в том, что дети, исходя из своих интересов, вместе с учителем выполняли собственные проекты. Так, решая какую-либо задачу, они включались в реальную деятельность и овладевали новыми знаниями.

Мой проект посвящается теме решения логарифмических и показательных

уравнений и неравенств. Эта тема включена в задания ЕГЭ №5 и №15(профильный уровень) и №7(базовый уровень).

Применение на уроках презентаций по этой теме позволяет:

учитывать индивидуальные способности;

формировать мыслительные и самостоятельные практические действия;

развивать творческие способности;

активизировать познавательную деятельность учащихся.

Глава I .Обзор литературы по теме проекта .

Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения неравенств с одной переменной-2011 г.

Эфендиев Э.И.- Практикум по элементарной математике-2015 г.

Колмогоров А.Н.- Алгебра и начала анализа.-2013 г. (учебник 10-11кл)

В [1], [3], [4] рассматриваются все задания №5, №15 ЕГЭ-2016 года по базовому и профильному уровню, т.е. задания разделов 1;4 .

Из [2], [6], [7], [8] этих источников рассматриваются задания , наиболее ярко характеризующие тот или иной основной метод решения логарифмических и показательных уравнении и неравенств во всей его полноте в разделе1 .

Из [5], [7], [9], [10] этих источников взяты повышенного уровня подготовки №15 , которые решаются методом рационализации – методом Голубева или об одном способе , упрощающем решение логарифмических и показательных неравенств в разделе 2 .

Из [2] взят материал применение логарифма вне области математики, доклад про логарифмическую спираль в разделе 3.

Выводы: изучаемая тема из разных источников преподносится в разной последовательности и в разной форме, но вся литература соответствует требованиям ФГОС

Раздел 1 . Решение логарифмических и показательных уравнений и неравенств

Логарифмические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log _a f ( x ) = b ,

где а > 0, а ≠ 1, равносильное уравнению

f ( x ) = a b

Основные теоремы о логарифмах.

Уравнение вида log _x A = B , A >0

при А≠1 и В≠0 имеют единственный корень х=А 1/В ;

при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;

при А=1 и В≠0 корней нет;

при А≠1 и В=0 корней нет. Уравнение вида log _a f ( x )= log _a g ( x ), a >0, a ≠1

Логарифмы с переменным основанием

Уравнения вида log _g ₍ _x ₎ f ( x )= b равносильны смешанной системе

Уравнения вида log _f ₍ _x ₎ g ( x )= log _f ₍ _x ₎ h ( x )

Уравнения вида
a >0, a ≠1, n € N

Методы решения логарифмических уравнений

1.Решение уравнений, основанных на определении логарифма

2.Решение уравнений потенцированием

3.Применение основного логарифмического тождества

6.Переход к другому основанию

Рассмотрим каждый из этих методов на примерах .

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

log ₂ (5 – x ) = 3.

По определению логарифма

5 – х = 2 3 ,

откуда х = –3.

х = –3 – корень уравнения.

Ответ: х = –3.

2. Решение уравнений потенцированием

log ₃ ( x + 1) + log ₃ ( x + 3) = 1.

Потенцируя , имеем: log ₃ ( x + 1)( x + 3) = 1.

Учитывая область определения получаем систему:

Откуда х ₁ = 0, х ₂ = – 4. Так как х > –1, то корень х ₂ = – 4 – посторонний.

Ответ: х = 0

3. Применение основного логарифмического тождества

log ₂ (9 – 2 x ) =10 lg (3 – x )

Область определения уравнения

откуда х основное логарифмическое тождество , получим:

log ₂ (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х ₁ = 0; 2 х = 8, х ₂ = 3. Так как x 3 , то х ₂ = 3 – посторонний корень.

Ответ: х = 0.

4. Логарифмирование

Область определения уравнения задается условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его:

(10 lg x ) lg x + x lg x = 20, x lg x + x lg x = 20, x lg x = 10 или lg x lg x = lg 10, lg 2 x = 1, lg x = ±1, значит lg x = 1, x ₁ = 10; lg x = –1, x ₂ = 0,1.Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0, x ≠ 1.

Ответ: x ₁ = 10, x ₂ = 0,1.

5. Замена переменной в уравнениях

Две основные идеи решения логарифмических уравнений :

приведение уравнения к виду

с последующим потенцированием;

замена неизвестных вида

с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Так как – х > 0, т.е. х IxI =- x , то данное уравнение можно записать в виде

Пусть = t , t ≥0, тогда получаем t = t 2 , t ( t – 1) = 0, откуда t ₁ = 0, t ₂₌ 1.

Значит lg (– x ) = 0, x ₁ = – 1; lg ( – x ) =1, x ₂ = –10.Ответ: x ₁ = – 1, x ₂ = –10.

Тренировочные упражнения

6 .Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3,получим: *= или

Методы решения показательных уравнений

2 2 x -4 = 64. (методом уравнивания показателей)

2 2 x – 6∙2 x + 8 = 0.(метод введения новой переменной)

= т, -6 m +8=0, m =2, m =4. x =1 , x =2. Ответ: х =1; 2

7 2 x +1 + 7 2 x +2 + 7 2 x +3 = 57. (вынесение общего множителя.)

=,2 x =-1, x =-0.5 Ответ: х =-0.5.

Схемы решения логарифмических и показательных неравенств

1. Сведение к рациональным неравенствам

2.Метод интервалов и систем

1. a f (x) > a g( x) f(x) > g( x)

2. log _a f( x ) > log _a g ( x )

a f (x) > a g( x) f(x)

log _a f( x ) > log _a g ( x )

Решить неравенство: 3 х – 3 х – 3 ≥ 26

≥ 27, x ≥3

2.Решить неравенство: lg 2 x 2 + 3 lg x > 1

=t, 4+3t-1>0; t=1/4, t=-2 ; x=, x=10 -2

3. Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на :

Пусть =m, m>0, тогда

, , ; ; ;

Ответ: .

4. Решить неравенство Решение:

Так как то последнее соотношение равносильно

Ответ: (3; 4).

РАЗДЕЛ 2.

Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств.

1.Таблица работает при условии : f ›0, g ›0, h ›0, h ≠1

где f и g — функции от х, h — функция или число, V — один из знаков ≤,›,≥,‹

Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

2.И еще несколько полезных следствий :

где f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ‹,≥,≤,›

Пример 2:

Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства .

Таблица для рационализации в показательных неравенствах:

f и g — функции от x , h — функция или число, V — один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии h ›0, h ≠1.

Опять же, по сути, нужно запомнить первую и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей .

( x 2 _- _x _-2) 2 x -6 ≥ ( x 2 - x -2) 3-4 x
X 2 - x -2›0

(( X 2 - x -2)-1)((2 x -6)-(3-4 x ))≥ 0

Так как 3‹ √13 ‹4,то x 2‹ x 3‹ x 1

С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1) U ( ; +∞)

Доклад про логарифмическую спираль:

Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так:

обойду земной шар и вернусь в

точку начала пути.

Но этот ответ неверен.

Ведь идти на северо-восток - это

значит постоянно увеличивать

восточную долготу и северную

широту, и вернуться в более южную

точку мы не сможем.

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль

описывается уравнением r = α φ ,

где r – расстояние от точки,

вокруг которой закручивается

спираль (ее называют полюсом),

до произвольной точки на спирали,

φ – угол поворота относительно полюса, ά – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( log _ά r ) возрастает пропорционально углу поворота φ.

Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно.

Очень часто логарифмическая спираль встречается в природе.

Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфган Гёте считал ее математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины.

В подсолнухе семечки располагаются по дугам, также близким к логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие Галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Задания ЕГЭ №7(базовый);№ 5,15(профильный )

Задание15 № 507708. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 2010 год вариант 201. (Часть С)

Задание 15 № 507764. Решите неравенство:

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2010 вариант 1. (Часть С)

Задание 15 № 508210. Решите неравенство:

Задание 15 № 508366. Решите неравенство:

Задание 5 № 26651 Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26653. Найдите корень уравнения .

Задание 5 № 26646. Найдите корень уравнения

Задание 5 № 26657. Найдите корень уравнения .

Задания №7 базового уровня такие же как и задания№5 профильного уровня

Проведя исследовательскую работу, дети узнают много полезного и интересного о методах решения логарифмических уравнениях и неравенствах, научатся работать с источниками информации, узнают в каких случаях и как используются те или иные или другие нестандартные методы.

Выпускник получит возможность овладеть специальными приемами решения логарифмических и показательных уравнений и неравенств, применять их для решения заданий ЕГЭ.

Проектную работу с успехом можно применить при подготовке к ЕГЭ.

На протяжении последних лет Единый Государственный Экзамен стал экзаменом, позволяющим проверить знания выпускников по тому или иному предмету. Успешная сдача единого государственного экзамена по математике является основным способом для поступления в высшее учебное заведение. Для того чтобы сдать этот, без сомнения, тяжелый экзамен нужно долго и упорно готовиться. А чтобы успешно сдать экзамен, нужно многое знать, что, собственно, требуется от экзаменующегося. В материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы предлагаются задания, содержащие показательные и логарифмические задачи. Такого типа задания вызывают затруднения у учащихся, популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами логарифмических и показательных уравнений и функций , многие из которых совершенно не отражены в школьных учебниках. С понятиями показательнаые и логарифмические функции ученики начинают знакомиться в старших классах, где они проходят самые азы решения данных уравнений.

Меня заинтересовала эта тема, потому что она требует более глубокого и досконального исследования.

Цели моей работы - изучить методы решения уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции и рассмотреть различные примеры их применения.

Задачи , необходимые для достижения поставленной цели:

-рассмотреть понятия логарифмической и показательной функций;

-рассмотреть методы решения уравнений данного вида;

-применить изученные методы к конкретным примерам;

-выяснить, какой способ наиболее рациональный.

Вспомним, что log а b (логарифм числа b по основанию a) — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. При этом b > 0, a > 0, a = 1 6.

Зафиксируем некоторое основание a. Тогда каждому положительному числу x можно поставить в соответствие число log а х— показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы

получить x. Иными словами, можно задать логарифмическую функцию y = log а x.

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (0; ∞ )
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ R
ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ:
функция не является ни четной, ни нечетной
НУЛИ: y = 0 при x = 1
ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:
если 0 a y > 0 при x (0; 1), y x (1; ∞ )
если a > 1, то y > 0 при x (1; ∞ ), y x (0; 1)
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
при 0 a x (0; ∞ )
при a > 1 функция возрастает при x (0; ∞ )
ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ
ГРАФИК ФУНКЦИИ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ: (1; 0) АСИМПТОТА x = 0

Параллельный перенос вдоль оси x

Симметричное преобразование относительно оси y

Сжатие и растяжение вдоль оси y

Симметричное преобразование оносительно оси х

Построение графика функции
y =| log 3 x|

При решении уравнений часто используется теорема :

Если log a х 1 = log a х 2 , где а > 0, а ≠ 1, х 1 > 0, х 2 >0, то х 1 = х 2 .

Предположим, что х 1 ≠ х 2 , например х 2 > х 1 . Если а > 0, то из неравенства
х 2 > х 1 следует, что log a х 2 > log a х 1 ; если 0 то из неравенства х 2 > х 1 следует, что log a х 2 a х 1 . В обоих случаях получилось противоречие с условием log a х 1 = log a х 2 . Следовательно, х 1 = х 2 .

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Решить уравнение log 5 (3х– 2) = log 5 7.

Решение . Используя доказанную теорему, получаем 3х– 2 = 7, откуда 3х = 9, х = 3.

Задача 2. Решить неравенство log 2 х

Решение . Пользуясь тем, что 3 = log 2 2 3 = log 2 8 , запишем данное неравенство так: log 2 х 2 8. Так как функция у = log 2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log 2 х 2 8 выполняется при х > 0 и х

Задача 3. Решить неравенство log 1/3 х ≤ – 2.

Решение. Запишем данное неравенство таким образом: log 1/3 х ≤ log 1/3 9. Функция у = log 1/3 х определена при х ≥ 0 и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х ≥ 9.

ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии :
Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:

Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.

Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j) , где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a - произвольное положительное число).

- логарифмическая спираль.

Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали.

Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.

формул, описывающих данный процесс.

Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике : Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

№ слайда 1

Логарифмические и показательные уравнения Методы решения Log324-log22xxx=cos30x

№ слайда 2

Логарифмические уравненияПоказательные уравнения

№ слайда 3

Логарифмические уравнения Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. 1) Простейшее логарифмическое уравнение

№ слайда 4

3) logh(x) f(x) = logh(x) g(x)Потеря решений при неравносильных переходахloga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x)

№ слайда 5

Методы решения логарифмических уравненийИспользование определения логарифмаlogab = c Û b = ac Пример log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3 Решение5+3log2(x-3)=23 Û log2(x - 3) = 1 Û x=5

№ слайда 6 Описание слайда:

Методы решения логарифмических уравненийИспользование свойств логарифма logab = c Û b = ac Пример log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24), РешениеО.Д.З.: x>0,x(x+3)=x+24 Û x2 + 2x - 24 = 0 Û x= Û x>0 Û x=4

№ слайда 7

Методы решения логарифмических уравненийМетод подстановки f(logax)=0 Û t=logax f(t)=0Пример lg2x - 3lgx + 2 = 0 Решениеlg x = t lgx=1t2-3t+2=0 Û lgx=2 Û x=

№ слайда 8

Пример5lgx = 50 - xlg5 5lgx = 50 - 5lgx 5lg x = 25 x=100

№ слайда 9

Методы решения логарифмических уравненийУравнения, содержащие выражения вида Пример Решение

№ слайда 10

Методы решения логарифмических уравненийМетод оценки левой и правой частейПример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение1) 2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = –((x2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1)2)£ 16 log2 (2x – x2 + 15) £ 4.2) x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ³ 4;

№ слайда 11

Методы решения логарифмических уравненийИспользование монотонности функций. Подбор корней.Пример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение2x–x2+15=t, t>0 x2–2x+5=20–t y=log2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1

№ слайда 12

Показательные уравнения Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при некоторых постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида: где a и b – некоторые положительные числа (а 1), а х – некоторое алгебраическое выражение.

№ слайда 13

Способы решения некоторых простейших показательных уравнений1. , где ,2.3. Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнение второго вида.