Доклад умножение в уме

Обновлено: 17.06.2024

На ней изображена сцена из XIX или начала XX века (судя по тому времени, когда жил художник), где учитель на доске написал пример и дети его решают, в уме производят сложные арифметические действия. Вот пример крупным планом:

Здесь не то, что в уме, на калькуляторе быстро не решить без записи промежуточных действий на бумаге. Хотя, решается достаточно просто, если знать степени основных цифр. Решение на третьем слайде.

Оказывается, есть масса способов, когда, на первый взгляд, сложные арифметические задачи решаются очень просто. Хотя, нам в школе предлагали лишь один способ – это сложение-вычитание и умножение-деление столбиком. А вот о таких способах, включая и быстрые графические решения – не упоминали:

Легкие способы умножения двухзначных цифр. Алгоритм действия простой и легко запоминается.

Тоже простое правило: нужно множитель или частное разделить на два числа (или больше) и выполнять вычисления в несколько действий. Самое простое, когда множитель можно разбить на 10 и другое число. К множимому добавляем ноль и умножаем на второе число.

Математическая пирамида. Гармония в цифрах.

Ролик с подобными приемами вычислений:

Для некоторых случаев нужно записывать промежуточные результаты. Но это легче чем перемножать в столбик. Это далеко не единственные способы. Их множество: простые и по-сложнее.

Способы перевода градусов по Фаренгейту и обратно. Иногда на некоторых приборах встречается американская система измерения температуры. Значения можно легко перевести в уме в привычные градусы Цельсия.

Математические приёмы нужно постоянно держать в голове и регулярно использовать их. Иначе все забывается. Как школьные теоремы и физические формулы. В современном мире мы все меньше сталкиваемся со случаями, где нужны такие навыки. Но они являются базой в когнитивных способностях человека мыслить, применять логику. Даже книги перестали читать – заменили это на пролистывание ленты новостей и с подпиской на контент с фотографиями.

Тренировка ума должна быть у человека на протяжении всей его жизни. Теряя когнитивные навыки, люди теряют способность анализировать и сопоставлять факты. И нами становится легко манипулировать.

Введение

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.

Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.

Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11, у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.

Немногие умеют считать быстро и правильно. Исследование, проведенное в нашей школе, показало:

1. Зачем нужно уметь считать?

а) пригодится в жизни, например, считать деньги;(16%)

б) чтобы хорошо учиться в школе; (16%)

в) чтобы быстро решать; (16%)

г) чтобы быть грамотным; (52%)

д) не обязательно уметь считать.

2. Перечислите, при изучении, каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

а) математика; (80%)

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

б) да, несколько (85%);

в) нет, не знаю(15%).

4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.

А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

1.Способы быстрого умножения

1. СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа – единицам искомого произведения.

Рис. 1. Счёт на пальцах

2. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20

Можно очень просто умножать такие числа.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или

Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13. Ответ 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.

3. УМНОЖЕНИЕ НА 11

- Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

- Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Задание: Умножьте быстро 54 ∙ 11 (594)

Задание: Умножьте быстро 67∙ 11 (737)

4. УМНОЖЕНИЕ НА 22, 33, . 99

- Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, . 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Задание: Умножьте 18∙ 44

5. УМНОЖЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25, НА 125

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

Задание: умножьте 824∙25

Задание: умножьте 348∙50

&2. Способы быстрого деления

1. ДЕЛЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25

При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями:

a:5= a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

&3. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

- Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

- Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

- Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Заключение

Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Основные термины (генерируются автоматически): быстрый счет, устный счет, двузначное число, единица, быстрое вычисление, быстрое сложение, быстрое умножение, сумма цифр, вычисление, задание.

Похожие статьи

Изучение приемов быстрого счета будущими учителями.

Умножение двузначных чисел, сумма единиц которых равна 10.

проектная деятельность, рациональные вычисления, приемы быстрого счета

Приёмы быстрого счета. Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия.

Использование схематической модели числа при формировании.

Уметь быстро, точно, правильно выполнять вычисления необходимо уже в начальной школе

Но для того чтобы научиться правильно считать, быстро выполнять простейшие

Выполняя подобное задание, учащиеся отрабатывают прием сложения двузначных чисел без.

И снова о ментальной арифметике | Статья в журнале.

Применение таких интересных методов вычисления поможет ученикам быстро осваивать основы математики.

Дальнейшие вычисления будут сопровождаться передвижением косточек по разрядам.

ментальная арифметика, устный счет, ребенок, таблица умножения, ментальный счет, число.

О применении устного счета на уроках математики

Конструируя – обучаемся. Сложение и вычитание натуральных.

Сложение однозначных чисел. Число – это количественная характеристика объекта.

&3. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

Методы и приемы стимулирования мышления на уроках.

Нам предстоит изучить только лучшие способы перемножения двухзначных чисел. Статья содержит наиболее распространенные и потому эффективные приёмы. В результате они позволят вам научиться умножать двухзначные числа в уме в разы быстрее.

Способ №1 – разложение числа на десятки и единицы

Наиболее легким и понятным является методика перемножения двухзначных чисел из школьной программы. Суть этого способа заключается в разбиении множителей на десятки и единицы. Далее получившиеся четыре числа перемножаются между собой. Метод простой, но для его использования необходимо умение запоминать одновременно несколько числовых значений и производить с ними арифметические расчеты.

Например: 54*73 = (50+4)*(70+3) = 50*70 + 50*3 + 4*70 + 4*3 = 3500+150+280+12 = 3942

Проще всего подобные примеры решать в три действия. В первом действии перемножаются десятки, во втором - единицы с десятками и суммируются между собой, а в третьем действии к полученной сумме прибавляется произведение единиц.

Это выглядит так:
1. 50*70 = 3500 – запомнить в уме
2. 50*3+4*70 = 430 – запомнить в уме
3. (3500+430)+3*4 = 3942 – итоговый результат

Для того чтобы за максимально короткое время решать такие примеры, необходимо обладать достаточно прочными знаниями таблицы умножения и уметь суммировать однозначные и двузначные числа, а также обладать способностью быстрого переключения внимания между производимыми расчетами, запоминая их в уме. Этот навык можно натренировать с помощью визуального представления совершаемых арифметических вычислений. Как он осуществляется? При помощи представления картинки вашего решения и получившихся промежуточных результатов.

Как видно из примера, эту методику умножения нельзя назвать самой простой и эффективной, поэтому следует иметь в виду и другие, альтернативные ей способы.

Способ №2 – арифметические подгонки

Среди вариантов вычислений в уме этот способ можно считать одним из наиболее распространенных. Подгонка примера применяется в случае, если необходимо быстро вычислить примерный или точный результат. Этот способ наиболее широко применяется в школах и высших учебных заведениях с математическим уклоном. Школьников и студентов обучают искать наиболее простые алгоритмы вычислений. Далее представлено несколько примеров таких подгонок:
Подгонка примеров к соответствующему виду считается очень популярным способом подсчетов в уме. Она применяется, когда вам требуется в короткие сроки определить приблизительный или правильный ответ. Школьников и студентов обучают искать наиболее удобные алгоритмы вычислений для разнообразных задач. Варианты подгонок представлены ниже:

Пример 49*49 решается следующим образом: (49х100) / 2 - 49. В первую очередь 49 умножается на сто – 4900. Потом 5900 делится на два – 2450. Из полученного результата вычитается 49. В итоге получается 2401.

Произведение чисел 56х92 вычисляется следующим образом: 56х100-56х2х2х2. Из этого следует: 56х2 = 112х2 = 224х2 = 448. Далее из 5600 вычитается 448, получается 5152.

Подобный вариант решения может быть применим только тогда, когда вы способны в уме умножать двузначные и однозначные числа и запоминать все полученные результаты. Помимо этого, приходится постоянно подбирать правильный алгоритм решения каждого примера и следить за его соблюдением.

Вывод. Этот способ отлично подходит для тренировки умственных способностей и памяти, но вероятность получить неверный результат из-за неправильно выбранного алгоритма решения значительно выше, чем при применении способа №1.

Способ №3 - визуальное представление в уме перемножения в столбик

56х67 – произведем расчеты в столбик.

Сложность такого умножения заключается в необходимости постоянно держать в памяти несколько вспомогательных чисел, а количество арифметических действий значительно больше, чем у других методов. Но произведение расчетов можно сделать значительно проще. В ЭТОЙ статье мы говорили о важности умения быстро перемножать однозначные числа с двузначными. Если вы уже научились это делать, то вычислить в столбик в уме для вас не составит труда. Порядок действий следующий:

1. 56х7=350 + 42 = 392 – запоминаем.
2. 56х6 = 300 + 36 = 336 - запоминаем.
3. 336х10 + 392 = 3360 + 392 = 3752 – это уравнение сложнее, но вычисление можно сделать проще путем проговаривания числа, которое не вызывает у вас трудностей. Пока вы проговариваете, суммируйте 360 и 392.

В итоге мысленные вычисления в столбик напрямую сложны, но можно значительно упростить этот процесс, если натренировать способность быстрого перемножения двузначных и однозначных чисел. Проще говоря, умножение в столбик является более сложной вариацией способа №1. Что лучше – выбирать вам.

Главным плюсом 3-х способов перемножения двухзначных чисел для устного счета в уме, приведенных выше, является их универсальность - они могут применяться для различных вычислений. Имея достаточно навыка устных вычислений, и зная эти способы, вы сможете найти правильное решение соответствующей задачи. Но при использовании правильных алгоритмов решения, можно значительно сократить количество выполняемых при решении в уме действий.

Способ 4. При умножении на 11

Наиболее простым является умножение любого двухзначного числа на 11. Для вычисления между первыми двумя цифрами множителя, отличного от 11, ставится сумма этих чисел.
Например, при умножении 14 на 11,между 1 и 4 вставляем сумму этих чисел (1+4). В итоге получается: 14*11 = 1 (1+4) 4 = 154.
Если центральные цифры в сумме дают результат больше десяти, то к первой цифре следует добавить единицу, а вторую цифру надо заменить суммой цифр умножаемого числа с вычетом 10.

Например: 56*11 = 5 (5+6) 6 = 5 (11) 6 = 616.

Этот способ можно использовать для умножения на 11 любых двухзначных чисел. Можно привести дополнительные примеры:

73 * 11 = 7 (7+3)3 = 803
45 * 11 = 4 (4+5) 5 = 495

Быстро производить умножение двухзначных и любых других чисел на одиннадцать в уме легко.

Формулы сокращенного умножения: квадраты суммы и разности

Для возведения в квадрат двухзначных чисел хорошо подходят формулы квадратов суммы и разницы.

К примеру:
14 2 = (10+4) 2 = 10 2 + 4*2*10 + 4 2 = 100+80+16 = 196
78 2 = (80-2) 2 = 80 2 – 80*2*2 + 2 2 = 6400-320+4 = 6084

Способ 5. Возведение в квадрат чисел, которые заканчиваются на 5

Числа, заканчивающиеся на пять, возводятся в квадрат по очень простому алгоритму. Числа до конечной 5-ки умножаются на это же число, и добавляется единица. К оставшемуся числу прибавляется число 25.

35 2 = (3*(3+1)) 25 = 1225
45 2 = (4*(4+1)) 25 = 2025
75 2 = (7*(7+1)) 25 = 5625

Такой же алгоритм применяется для более сложных примеров:

355 2 = (35*(35+1)) 25 = (35*36)25 = 126025

Способ 6. Умножение чисел до 20

Доказать верность этого метода можно следующим образом: 15*19 = (10+5)*(10+9) = 10*10+10*5+10*9+5*9 = 10*(10+5+9) +5*9.

Фактически этот метод представляет собой способ применения для расчетов опорных чисел. В конкретном примере опорным числом является десятка. Последнее выражение наглядно показывает, что именно на это число мы и умножали расположенное внутри скобки. Вместо десяти опорным числом может выступать и любое другое число. Наиболее удобными принято считать числа 100, 50, 25 и 20. В ЭТОЙ статье более подробно рассматривается использование опорных чисел. Здесь же приведем только ознакомительное описание этой темы.

Применим методику опорного числа для перемножения чисел 14 и 16. Тут, так же как и в прошлом примере, удобнее будет использовать 10-ку как опорное число. 14 больше десяти на 4, а 16 – на 6. Для определения произведения этих чисел нужно произвести следующие действия:

К одному из множителей прибавляется число, на которое второй множитель больше опорного. А именно, 6 - к 14, или 4 - к 16 (не делайте этого одновременно!). В обоих случаях получается одно и то же: 20. Затем 20 умножаем на опорное число, то есть на 10. Результат: 200.
К 200 прибавляем произведение 4*6. Ответ: 224.

1. Умножение на 11

Все мы знаем, что при умножении на десять к числу добавляется ноль, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:

Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52): 5_2

Теперь сложите два числа и запишите их посередине: 5_(5+2)_2.

Таким образом, ваш ответ: 572.Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу: 9_(9+9)_9 (9+1)_8_9 10_8_9 1089. Это срабатывает всегда.

2. Быстрое возведение в квадрат

Этот приём поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на пять. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и всё! 252 = (2x(2+1)) & 25

3. Умножение на пять

Большинству очень просто даётся таблица умножения на пять, но когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее.

Этот приём невероятно прост. Возьмите любое число и поделите пополам. Если в результате получилось целое число, припишите ноль в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте пять. Это срабатывает всегда:

2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0

2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)

Давайте попробуем другой пример:

2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)

4. Умножение на девять

Это просто. Чтобы умножить любое число от одного до девяти на девять, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9×3 — загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 — это два), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае — семь). Ответ — 27.

5. Умножение на четыре

Это очень простой приём, хотя очевидный лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на два, а затем опять умножить на два: 58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232.

6. Подсчёт чаевых

Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на десять), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:

15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)

7. Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причём одно из них — чётное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:

32×125 всё равно что:

16×250 всё равно что:

8×500 всё равно что:

8. Деление на пять

На самом деле делить большие числа на пять очень просто. Нужно просто умножить на два и перенести запятую:

1. 195 * 2 = 390

2. Переносим запятую: 39,0 или просто 39.

1. 2978 * 2 = 5956

9. Вычитание из 1000

Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом. Отнимите от девяти все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от десяти:

1. От 9 отнимите 6 = 3

2. От 9 отнимите 4 = 5

3. От 10 отнимите 8 = 2

10. Систематизированные правила умножения

Умножение на 5: Умножьте на 10 и разделите на 2.

Умножение на 6: Иногда проще умножить на 3, а потом на 2.

Умножение на 9: Умножьте на 10 и отнимите исходное число.

Умножение на 12: Умножьте на 10 и дважды прибавьте исходное число.

Умножение на 13: Умножьте на 3 и 10 раз прибавьте исходное число.

Умножение на 14: Умножьте на 7, а затем на 2.

Умножение на 15: Умножьте на 10 и 5 раз прибавьте исходное число, как в предыдущем примере.

Умножение на 16: Если хотите, 4 раза умножьте на 2. Или умножить на 8, а потом на 2.

Умножение на 17: Умножьте на 7 и 10 раз прибавьте исходное число.

Умножение на 18: Умножьте на 20 и дважды отнимите исходное число.

Умножение на 19: Умножьте на 20 и отнимите исходное число.

Умножение на 24: Умножьте на 8, а потом на 3.

Умножение на 27: Умножьте на 30 и 3 раза отнимите исходное число.

Умножение на 45: Умножьте на 50 и 5 раз отнимите исходное число.

Умножение на 90: Умножьте на 9 и припишите 0.

Умножение на 98: Умножьте на 100 и дважды отнимите исходное число.

Умножение на 99: Умножьте на 100 и отнимите исходное число.

БОНУС: проценты

Вычислить 7% от 300.

Итак, получается, что 7% от 100 будет семь. (Семь для каждой сотни, только одной сотни).

35,73% от 100 = 35,73

Но как это может быть полезным? Вернёмся к задачке 7% от 300.

7% от первой сотни равно 7. 7% от второй сотни — то же 7, и 7% от третьей сотни — все те же 7. Итак, 7 + 7 + 7 = 21. Если 8% от 100 = 8, то 8% от 50 = 4 (половина от 8).

Дробите каждое число, если нужно вычислить проценты из 100, если же число меньше 100, просто перенесите запятую влево.

8%250 =? 8 + 8 + 4 = 20,

8%25 = 2,0 (Передвигаем запятую влево).

15%300 = 15+15+15 =45

Также полезно знать, что вы всегда можете поменять числа местами: 3% от 100 — то же самое, что 100% от 3. А 35% от 8 — то же самое, что и 8% от 35.

Читайте также: