Доклад на тему выражения по алгебре

Обновлено: 17.08.2022

Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих опера­ции (ответы), а их свойства.

Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.

Математическое выражение и его значение

3.

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.

3 + 2 — математическое выражение;

7 - 5; 5 • 6 - 20; 64 : 8 + 2 — математические выражения;

а + b; 7 - с; 23 - а • 4 — математические выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.

Запись вида 5 7 — не являются математическими выражениями, это неравенства. [5,с.242]

Элементы алгебры в начальной школе

Роль алгебраического материала в курсе математики начальных классов

Математическое выражение и его значение.

Решение задач на основе составления уравнения.

Алгебра заменяет численные значения количественных характеристик множеств или величин буквенной символикой. В общем виде алгебра также заменяет знаки конкретных действий (сложения, умножения и т. п.) обобщенными символами алгебраических операций и рассматривает не конкретные результаты этих опера­ции (ответы), а их свойства.




Обязательный минимум содержания образования по математике для начальных классов (последняя редакция 2001 г.) не содержит алгебраического материала. Не упоминают умений выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки по завершении обучения в начальных классах.

Математическое выражение и его значение

3.

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства, которые используют в записи знаки равенства и неравенства.

3 + 2 — математическое выражение;

7 - 5; 5 • 6 - 20; 64 : 8 + 2 — математические выражения;

а + b; 7 - с; 23 - а • 4 — математические выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 не является математическим выражением, это равенство.

Запись вида 5 7 — не являются математическими выражениями, это неравенства. [5,с.242]


Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются в решении задач. Изучим эту тему подробнее и рассмотрим примеры решения задачи.


Определение понятия

Какие выражения называют алгебраическими? Это математическая запись, составленная из чисел, букв и знаков арифметических действий. Наличие букв – это основное отличие числовых от алгебраических выражений. Примеры:

Буква в алгебраических выражений обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной – в первом примере это буква а, во втором – b, а в третьем – с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной.

Значение выражения

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами. Поэтому в примерах всегда указывают, какое число соответствует букве. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а – 14 * (5 – а), если а = 3.

Подставим вместо буквы а число 3. Получаем следующую запись: 8 * 3 – 14 * (5 – 3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения проводится по правилам выполнения арифметических действий. Решим все по порядку.

  • 5 – 3 = 2.
  • 8 * 3 = 24.
  • 14 * 2 = 28.
  • 24 – 28 = – 4.

Таким образом, значение выражения 8а – 14 * (5 – а) при а = 3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Пример допустимой переменной для выражения 5 : (2а) – это число 1. Подставив его в выражение, получаем 5 : (2 * 1) = 2,5. Недопустимая переменная для данного выражения – это 0. Если подставить ноль в выражение, получаем 5 : (2 * 0), то есть 5 : 0. На ноль делить нельзя, значит, выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения при любых значениях, входящих в их состав переменных оказываются равны, их называют тождественными.
Пример тождественных выражений:
4 (а + с) и 4а + 4с.
Какие бы значения ни принимали буквы а и с, выражения всегда окажутся равны. Любое выражение можно заменить другим, тождественным ему. Этот процесс называют тождественным преобразованием.

Пример тождественного преобразования.
4 * (5а + 14с) – данное выражение можно заменить тождественным, применив математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно это число умножить на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

  • 4 * 5а = 20а.
  • 4 * 14с = 56с.
  • 20а + 56с.

Таким образом, выражению 4 * (5а + 14с) является тождественным 20а + 56с.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используют для решения задач и уравнений.
Рассмотрим задачу. Петя придумал число. Для того, чтобы его отгадал одноклассник Саша, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате я получил число 28. Какое число я задумал?

Для решения задачи нужно загаданное число обозначить буквой а, а затем произвести все указанные действия с ним.

  • а + 7.
  • (а + 7) – 5.
  • ((а + 7) – 5) * 2 = 28.

Теперь решим полученное уравнение.

Петя задумал число 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение – запись, составленная из букв, чисел и знаков арифметических действий. Каждое выражение имеет значение, которое находят путем выполнения всех арифметических действий в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней – коэффициентом. Алгебраические выражения используют для решения задач.


Строго говоря, математика состоит из выражений. В этой статье разберем, что такое числовые и буквенные выражения и научимся выполнять различные арифметические действия.

О чем эта статья:

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

Это простые числовые выражения.

Более сложные числовые выражения состоят из нескольких чисел и знаков арифметических действий:

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
- — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

11 — значение числового выражения 5 + 6.

48 — значение числового выражения 6 * 8.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

Сначала выполняется действие, записанное в скобках.

Затем выполняются действия деления и умножения слева направо.

В последнюю очередь выполняются действия сложения и вычитания слева направо.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 1. Найдите значение числового выражения: 3 * (2 + 8) - 4

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

(6 + 7) * (13 + 2) = 195

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

Сначала находим значение первого выражения:

Затем находим значение второго выражения:

Сравниваем получившиеся результаты:

Пример 2. Сравните следующие числовые выражения:
5 * (12 - 2) - 7 и (115 + 9) - (7 - 3)

Находим значение первого выражения, соблюдая порядок выполнения арифметических действий:

5 * (12 - 2) - 7 = 43

Затем находим значение:

Сравниваем полученные результаты:

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

Сначала следует прочитать его полностью.

Затем оно записывается.

Третьим шагом идет подстановка значения неизвестного в выражение.

А затем производится вычисление, согласно очередности выполнения арифметических действий.

Пример 1. Найдите значение выражения при x = 4: 5 + x.

  1. Читаем: найдите сумму числа 5 и x.
  2. Подставляем вместо неизвестного x число 4.
  3. Вычисляем: 5 + 4 = 9.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x) при а = 2 и х = 5.

Читаем: найдите произведение суммы числа 4 и а и суммы числа 2 и x.

Подставляем вместо неизвестного a число 2.

Вычисляем 4 + 2 = 6.

Подставляем вместо неизвестного x число 5.

Вычисляем 2 + 5 = 7.

Находим произведение 6 * 7 = 42.

Записываем результат: (4 + 2) * (2 + 5) = 42.

Выражения с переменными

Переменная — буквенное обозначение элемента, который может принимать любое числовое значение.

Например, в выражении x + a - 8

Если вместо переменных подставить числа, то буквенное выражение x + a - 8 станет числовым выражением. Вот так:

подставляем вместо переменной x число 5, а вместо переменной a — число 10, получаем 5 + 10 - 8.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

После подстановки значения переменных находим значение x + a - 8 = 5 + 10 - 8 = 7.

Часто можно встретить буквенные выражения, записанные следующим образом:

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x.

4a — это произведение числа 4 и переменной a.

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.

Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.

Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.

Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.

am + bn,

при a = 2, m = 5, b = 1, n = 4 вычисляется:

а при a = 3, m = 4, b = 5, n = 1 вычисляется:

3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т. д.

при a = 1, b = 2, c = 3 равно:

а при a = 2, b = 3, c = 4 равно:

2 · 3 · 4 = 24 и т. д.

Коэффициент

Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,

произведение чисел a, b, c, d, 4 записывается так: 4abcd;

произведение чисел m, n, , p записывается так: .


Числа 4 и — это коэффициенты. Очевидно, что

4abcd = abcd + abcd + abcd + abcd


.

Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.

Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как

a = 1 · a; bc = 1 · bc

Виды выражений

Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.

Целые алгебраические выражения:

7a 2 b, a 2 + 2bc .
3

Дробные алгебраические выражения:

a 2 , m - n
b 3 m + n .

Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.

a , 5 3 √ c + amn — иррациональные или радикальные выражения.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Математические выражения. Презентация на заданную тему содержит 25 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500

Числовые выражения Число, получаемое в результате последовательного выполнения всех операций, входящих в числовое выражение, называется его значением. Например, (99-87)  17 = 12  17 = 204. 204 – значение выражения.

Числовые выражения Существуют числовые выражения, которые не имеют значения. О них говорят, что они не имеют смысла. Например,

Числовые выражения СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ чисел называют действиями первой ступени. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ - действия второй ступени. Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется правилами.

Числовые выражения Порядок действий 1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо. 2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени. 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Числовые выражения (814 + 36  27) : (101 – 2052 : 38) = перемножить числа 36 и 27; сложить 814 с результатом действия 1; разделить 2052 на 38; вычесть из 101 результат действия 3; разделить результат действия 2 на результат действия 4.

Чтение числовых выражений Начинается с результата последней операции. Примеры: (20– 10) : 5 - частное разности чисел 20 и 10 и числа 5. 20 – 10 : 5 - разность числа 20 и частного чисел 10 и 5. 20 : 10 – 5 - разность частного чисел 20 и 10 и числа 5.

Выражения с переменной строятся с помощью букв, цифр, знаков бинарных операций и, может быть, скобок по следующим правилам: каждая буква является выражением с переменной; если А(х) и В(х) – выражения с переменной, то А(х)+В(х), А(х)-В(х), А(х)В(х), А(х):В(х) тоже являются выражениями с переменной. Например, 2+х, х2, (2х -5):45,

Выражения с переменной Если в выражение с переменной подставить вместо переменной конкретное число, то получится числовое выражение. Можно найти его значение. Например, подставим в выражение 2+х вместо переменной х число 3. Получится числовое выражение 2+3. Можно найти его значение: 2+3=5. Число 5 - значение выражения 2+х при х=3.

Выражения с переменной Областью определения выражения с переменной называется множество таких чисел, при подстановке которых вместо переменной данное выражение обращается в числовое выражение, имеющее смысл. Например, выражение с переменной определено (имеет смысл) на множестве [3; +) и не имеет смысла на множестве (-; 3).

Числовые равенства Это высказывания вида А=В, где А и В – числовые выражения. Так как числовые равенства – это высказывания, они бывают истинными (верными) и ложными (неверными). Например, 2 = 4 – 2, – верные числовые равенства; 9 = 8, (45-34)  4 = 19 – неверные числовые равенства.

Свойства числовых равенств Если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть из них) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. Если обе части верного числового равенства умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля, то получится верное числовое равенство.

Числовые неравенства Это высказывания вида А B, AB, AB, где А и В – числовые выражения. Так как числовые неравенства – это высказывания, они бывают истинными (верными) и ложными (неверными). Например, 3 4 – верные числовые неравенства; 67 1000 - неверные числовые неравенства.

Свойства числовых неравенств Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное числовое неравенство. Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное числовое неравенство.

Свойства числовых неравенств Если обе части верного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное числовое неравенство. Если обе части верного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное числовое неравенство.

Уравнения Уравнением с переменной х на множестве М называется равенство вида А(х)=В(х) либо А(х) = b, где А(х) и В(х) – выражения с переменной х, определенные на множестве М, b – некоторое число. Множество М называют областью определения уравнения (его задают вместе с уравнением либо отыскивают). Например, 6х +45 = 23, 34х +5 = 2 – 4х – уравнения.

Уравнения Решить уравнение - значит найти множество значений переменной х, при подстановке которых в уравнение, оно обращается в верное числовое равенство. Каждое решение уравнения называют корнем уравнения. Например, решим уравнение (2-х)(х+6) = 0, определенное на множестве R. Множество его решений - <2; -6>. 2 и -6 – корни данного уравнения на множестве R.

Неравенства Неравенством с переменной х на множестве М называется неравенство вида А(х) В(х), А(х) b, где А(х) и В(х) – выражения с переменной х, определенные на множестве М, b – некоторое число. Множество М называют областью определения неравенства (его задают вместе с неравенством либо отыскивают). Например, 45 – 5х 4x-23 – неравенства.

Неравенства Решить неравенство - значит найти множество значений переменной х, при подстановке которых в неравенство, оно обращается в верное числовое неравенство. Например, решим неравенство 2х+6> 0, определенное на множестве R. Множество его решений – (-3; +).

Равносильные уравнения (неравенства) Уравнения (неравенства), определенные на множестве М, называются равносильными на этом множестве тогда и только тогда, когда множества их решений, принадлежащих данному множеству, совпадают. А(х)=В(х)  С(х)=D(х) А(х)>В(х)  С(х)>D(х)

Равносильные уравнения (неравенства) Уравнения (неравенства), определенные на множестве М, называются равносильными на этом множестве тогда и только тогда, когда множества их решений, принадлежащих данному множеству, совпадают. А(х)=В(х)  С(х)=D(х) А(х)>В(х)  С(х)>D(х)

Равносильные уравнения (неравенства) Рассмотрим уравнения х – 2 = 0 и (2х - 4)(х + 3) = 0, определенные на множестве М. Установим, являются ли эти уравнения равносильными, если: а) М = N. х – 2 = 0 (2х - 4)(х + 3) = 0 х <2>х <2>Значит, х–2=0  (2х-4)(х +3) = 0 на множестве N. б) М = R. х – 2 = 0 (2х - 4)(х + 3) = 0 х <2>х Значит, х –2 = 0  (2х - 4)(х + 3) = 0 на множестве R. Таким образом, одни и те же уравнения могут быть равносильными на каком-то множестве и неравносильными на другом множестве.

Читайте также: