Доклад на тему сечение многогранников

Обновлено: 17.05.2024

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

что значит построить сечение многогранника плоскостью;
как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
как задается плоскость;
когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

тремя точками;
прямой и точкой;
двумя параллельными прямыми;
двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Метод следов.
Метод вспомогательных сечений.
Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Определение сечения многогранников.
Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

Этапы урока:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

Вспомним:
- пересечение прямой с плоскостью;
- пересечение плоскостей;
- свойства параллельных плоскостей.

Вопросы к классу:
- Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
- Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость?
- Как задается плоскость?
- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур: многогранника и плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

- может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные сечения плоскостью ( на модели). Какие многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями аксиоматического метода построения сечений многогранников плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.
Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.
Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.
Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.5)).

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных многогранников плоскостью PQR? И выполните правильное построение (рис. 6).

Вариант 1.

Вариант 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами нахождения площади сечения многогранника.

Вспомнить теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

- без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;

- с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Задача 1.

ABCD – правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.

Так как основание пирамиды – равносторонний треугольник и точка М – середина стороны, то СМ является высотой и тогда, СМ = .
Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Рис.7

Задача 2.

Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки Е и F на ребрах А₁D₁ и C₁D₁ соответственно, если A₁E = k · D₁E и C₁F = k · D₁F.

Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁, а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая EF будет являться следом секущей плоскости на плоскость грани A₁B₁C₁D₁ (рис.8).
Аналогично получаются прямые ED и FD.
EDF – искомое сечение.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной а плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА₁, а N – середина ребра СС₁.

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Ответ: S = 1/2 · a 2 .

Окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства. Представления об геометрических телах дают предметы, встречающиеся в нашей повседневной жизни. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности носят название многогранники.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Мы можем наблюдать, что многогранники окружают нас повсюду, как в природе, так и в искусстве человечества. Использовать многогранники в архитектуре люди стали еще до новой эры, так как форма куба и параллелепипеда является наиболее органичной для строительства сооружений.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Платоновыми телами называются выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. Существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, додекаэдр, октаэдр и икосаэдр.

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности. И ногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых деталей, усечённых плоскостью, выявить внутренние очертания деталей. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

В школьном курсе математики многогранники рассматриваются школьниками в 10-11 классах. Учебники содержат задачи на различные методы построений сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования. В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ присутствуют задачи связанные с сечениями многогранников и вызывают у ребят наибольшую трудность при сдаче ЕГЭ.

Объект исследования – методы построения сечений многогранников.

Предмет исследования – задачи на построение сечений многогранников разными методами.

Теоретическая часть

1.История многогранников

Знания о многогранниках применялись еще с древнейших времён цивилизацией Египта, Месопотамии, Африки: например, были найдены ювелирные украшения в форме многогранников, а их возраст насчитывает несколько тысяч лет, а также игральные кости ( археологами была найдена игральная кость в форме додекаэдра, датируемая 1000 годом до н.э.).

Пифагор Самосский (около 582 года до н.э. – 507 год до н.э.) создал космологическое учение, связавшее правильные многогранники с устройством Вселенной. Пифагорейцы считали, что элементы первоснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь- тетраэдр, земля-гексаэдр, воздух- октаэдр, вода- икосаэдр. Вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра. [7]

2. Определение многогранника и его элементов (рёбер, граней, вершин, двухгранных углов и диагоналей)

Существует множество различных определений понятия многогранник, которые встречаются в известных учебниках.

Л.С. Атанасян называет многогранником геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, удовлетворяющих следующим двум условиям:

а) никакие два смежных многоугольника не лежат в одной плоскости;

б) объединение всех многоугольников является двумерным многообразием.[2]

Многогранник имеет множества элементов - ребро, грань, вершина, двухгранный угол и диагональ. Определения данных элементов можно увидеть в учебниках Л.С. Атанасян и А.П. Киселева [1,10].

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами многогранника.

Грани многогранника, сходящиеся в одной точке, образуют двугранный угол.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

3.Виды многогранников

3.1.Выпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Отсюда непосредственно следует, что грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники.

Теорема 1(теорема Эйлера). Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

Где В - число вершин, Р - число рёбер и Г- число граней данного многогранника.

Доказательство [3]. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку (рис. 1,а), содержащую Г' = Г – 1 многоугольников (которые по-прежнему будут называться гранями), В вершинами и Р рёбрами.

Если для этой сетки выполняется соотношение

То для исходного многогранника будет справедливо требуемое соотношение (*).

Покажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, и, следовательно В - (Р + 1) + ( Г' + 1) = В – Р + Г'. Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие входящие в нее многоугольники на треугольники (рис. 1, б), и для полученной сетки покажем выполняемое соотношение (**). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра сетки, уменьшая в ней количество треугольников.

При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN .

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случаем после удаления треугольника сетка будет состоять из В - 1 вершин, Р - 2 рёбер и Г '- 1 граней, (В – 1) – (Р – 2) + (Г' – 1) = В – Р + Г'.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношение (**). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придём к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В=3, Р=3, Г'=1, и, следовательно, В – Р + Г' = 1. Значит соотношение (**) имеет место и для исходной сетки , откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедлива соотношение (*).

3.2. Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани- равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер [4].

Многогранник называется правильным, если [5]:

все его грани равны и правильны;

все его многогранные углы равны и правильны.

Теорема 2. Существует только пять видов правильных многогранников.

Доказательство [6]. Пусть m – число сторон каждой грани правильного многогранника; n – число рёбер каждого многогранного угла.

Если принять прямой угол за единицу, то каждый угол какой-либо грани выразится числом 2 - ; но сумма n плоских углов, примыкающих к одной вершине, должна быть меньше четырёх прямых; следовательно, каждый из них должен быть меньше .

2 - m и n больше или равно 3, но оба они не могут быть больше 3; так как для m и n 4, имеем .

Следовательно, по крайней мере одно из чисел m и n равно 3. Допустим, что это будет m : в равенстве (1) можно переставить числа m и n , так как оно симметрично относительно этих двух чисел.

При этом будем иметь:

откуда n n может иметь только значения 3, 4 и 5.

Симметрия неравенства (1) относительно чисел m и n не должна нас удивлять; в самом деле, каждое из этих чисел становится на место другого, если от некоторого многогранника перейти к многограннику, ему сопряжённому. Каждый раз, как m и n будут различны, мы будем иметь пару сопряжённых решений – всего-навсего получим следующие пять решений:

m = n = 3 ;

m , n = 3, 4;

m , n = 3, 5.

В соответствие с теоремой получаем следующие правильные многогранники (Платоновы тела): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (табл. 1).

Читайте также: