Доклад на тему решение задач на зависимости между величинами

Обновлено: 16.05.2024

Давно не секрет, что математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решения задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи. Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения и обобщения. На практике некоторые учителя используют сравнительно небольшой арсенал методических приёмов, что порождает однообразие в работе над задачами и, как следствие, угасание интереса учеников к решению задач.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………. 3
Глава 1. Методико-математическая характеристика основных понятий исследования.
1.1 Различные подходы к обучению младших школьников решению текстовых задач………………………………………………………….
1.2 Определение основных понятий исследования (текстовая задача, решение задачи, функция, прямая и обратная пропорциональность, основные величины, изучаемые в начальных классах, связанные с пропорциональной зависимостью)…………………………………………………………………….
1.3 Содержание и этапы подготовительной работы к изучению функциональной зависимости по программе Л.Г. Петерсон ………………….
Глава 2. Методические особенности обучения младших школьников решению задач на пропорциональную зависимость между величинами.
2.1 Классификация задач на пропорциональную зависимость между величинами………………………………………………………………………
2.2 Анализ школьных учебников математики с точки зрения применения различных методических приёмов в процессе обучения младших школьников решению задач на пропорциональную зависимость между величинами………………………………………………………………………
2.3 Анализ опыта учителей начальных классов………………………………
Заключение……………………………………………………………………..
Список литературы……………………………………………………………

Работа содержит 1 файл

Курсовая.docx

ОГОУ СПО Рязанский педагогический колледж

Курсовая работа

студентка группы 3Ш

Рязань 2011г.

Введение………………………………………………………… ………………. 3

Глава 1. Методико-математическая характеристика основных понятий исследования.

1.1 Различные подходы к обучению младших школьников решению текстовых задач…………………………………………………………. .

1.2 Определение основных понятий исследования (текстовая задача, решение задачи, функция, прямая и обратная пропорциональность, основные величины, изучаемые в начальных классах, связанные с пропорциональной зависимостью)…………………………………………… ……………………….

1.3 Содержание и этапы подготовительной работы к изучению функциональной зависимости по программе Л.Г. Петерсон ………………….

Глава 2. Методические особенности обучения младших школьников решению задач на пропорциональную зависимость между величинами.

2.1 Классификация задач на пропорциональную зависимость между величинами…………………………………… …………………………………

2.2 Анализ школьных учебников математики с точки зрения применения различных методических приёмов в процессе обучения младших школьников решению задач на пропорциональную зависимость между величинами…… …………………………………………………………………

2.3 Анализ опыта учителей начальных классов………… ……………………

Ведение.

Умение решать текстовые задачи является ключевым показателем уровня математического развития младшего школьника. Математическая задача неизменно помогает ученику:

вырабатывать правильные математические понятия;
глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни;
дает возможность применять изучаемые теоретические положения; способствует формированию у детей полноценных знаний, определяемых программой;
связать теорию с практикой, обучение с жизнью;
иметь представление о важных в познавательном и воспитательном отношении фактах.

установить связь между величинами, входящими в задачу;
составить план решения;
выполнить проверку полученного результата;
найти разные способы решения задач, выбрать наиболее рациональный способ и т.д.

Основное внимание направлено на реализацию единственно цели – получение ответа на вопрос задачи, в то время как надо подумать, найти другой способ решения задачи, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию, что часто не успевает сделать на уроке учитель.

Анализ методической литературы (М.А. Бантова, М.И. Моро, Л.М. Фридман и др.) показывает, что работа над составной задачей включает в себя нескольких этапов. Каждый этап требует своего методического решения. Многие авторы обращают особое внимание на последний этап - работа с задачей после её решения, и обозначают данный вид работы как эффективный метод формирования у детей понимания смысла и особенностей задач на пропорциональную зависимость между величинами.

Часто предлагается использовать такой приём работы, как составление и преобразование задачи. Н.Б.Истомина, М.И. Моро, считают, что в процессе составления и преобразования задач ученики начинают осознавать не только задачную ситуацию, не только связи между величинами, но и сам процесс решения задачи. В процессе составления и преобразования задачи учащийся овладевает общими учебными умениями, необходимыми при решении житейских задач. При составлении и преобразовании задач у ученика развивается логическое мышление, воображение, фантазия, формируется познавательный интерес к математике, развивается его творческий потенциал.

В школе большое внимание уделяется решению готовых задач, но практически не ведется работа по их составлению и преобразованию. Следовательно, возникает необходимость учить детей не только составлять задачи по выражению, по краткой записи и т.д., но и преобразовывать задачи. В свою очередь необходимо отметить важность данного вида работы над задачами, в особенности это касается задач на пропорциональную зависимость, решение которых детям не всегда дается просто. Это обусловлено тем, что функциональная зависимость в явном виде в начальной школе не изучается.

Отсюда, вытекает проблема исследования: поиск эффективной методики работы над задачами на пропорциональную зависимость между величинами.

Объект исследования: процесс обучения младших школьников решению текстовых задач.

Предметом исследования является процесс обучения решению текстовых задач на пропорциональную зависимость между величинами на уроках математики в начальной школе.

Цели исследования: изучить специфические особенности и пути усовершенствования процесса обучения младших школьников решению текстовых задач на пропорциональную зависимость между величинами на уроках математики.

Гипотеза исследования: если на уроках математики в начальной школе вести работу по обучению преобразованию задач, вырабатывать правильные математические понятия в сознании школьников, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, находить возможность применять изучаемые теоретические положения. А также способствовать формированию у детей полноценных знаний, определяемых программой, связывать теорию с практикой, обучение с жизнью, расширять представления о важных в познавательном и воспитательном отношении фактах - всё это будет эффективным средством повышения общего уровня умения решать различные виды задач на пропорциональную зависимость между величинами.

Для достижения поставленной цели и доказательства выдвинутой гипотезы были обозначены следующие задачи:

- Описать различные подходы к обучению решению задач на пропорциональную зависимость между величинами в начальной школе;

- Выявить понятийный аппарат на основе анализа психолого- педагогической и методической литературы по исследуемой проблеме;

- Собрать и систематизировать теоретический материал по работе над задачами на пропорциональную зависимость между величинами ;

- Разработать систему заданий для подготовительной работы к изучению функциональной зависимости между величинами;

- Рассмотреть известные, но мало применяемые на практике способы работы над задачами на пропорциональную зависимость между величинами, включить их в практическую работу с детьми;

Методы исследования:

Эмпирические (изучение литературы и источников, диагностические ситуации, выявление и обобщение педагогического опыта);
Теоретические (анализ, синтез, абстрагирование, конкретизация, педагогическая герменевтика).

В первой главе предполагается описать подходы к обучению решению задач на пропорциональную зависимость между величинами, определить основные понятия исследования, представить содержание и этапы подготовительной работы к изучению функциональной зависимости по программе Л. Г. Петерсон. Содержание второй главы раскроет сущность классификации задач на пропорциональную зависимость между величинами, использование различных методических приёмов в процессе обучения решению текстовых задач на пропорциональную зависимость между величинами на уроках математики. Также предполагается провести анализ опыта учителей начальных классов и составленные студентами текстовые задачи на пропорциональную зависимость между величинами.

Глава 1. Методико-математическая характеристика основных понятий исследования.

1.1 Различные подходы к обучению младших школьников решению текстовых задач.

Общепризнанно, что для выработки у учащихся умения решать задачи, важна всесторонняя работа над одной задачей, в частности, и решение её различными способами.

Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи даёт возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче.

Возможность решения некоторых задач разными способами основана на различных свойствах действий или вытекающих из них правил.

При решении задач различными способами ученик привлекает дополнительную информацию, поскольку он непроизвольно выполняет в большем числе выборы суждений, хода мысли из нескольких возможных; рассматривается один и тот же вопрос с разных точек зрения. При этом полнее используется активность учащихся, прочнее и сознательнее запоминается материал. В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. При алгебраическом способе – в результате составления и решения уравнений.

Рассмотрим далее подходы педагогов. Хотелось бы уделать особое внимание подходу Истоминой Н.Б.

Многообразие видов заданий, предложенных автором, направлено на формирование приемов умственной деятельности, отработки навыков счета, интересные подходы к решению задач. Программа Н.Б. Истоминой отличается от стандартной тем, что предложен другой методический подход к формированию понятий и способов действий: любая тема начинается с задания "Рассмотри, что общего, чем отличается, найди "лишнее" и т.д." Они актуализируют задания учащихся для восприятия нового материала и способствуют формированию "думающего ученика". Изложение нового материала происходит на уровне "Субъект - субъект", то есть учитель вместе с учащимися находит решение поставленной задачи. Это происходит через поиск возможных вариантов решений задач, примеров. На помощь учащимся приходят Миша и Маша, которые предлагают найти верное решение из предложенных вариантов. Эти задания развивают речь, логику. Отличается методика обучения решению задач.

Величина — результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения. Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °. Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.). Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем. Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны. Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении: S = V * t где S — путь; V — скорость; t — время. Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной.

Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной. При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной. Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной. Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин: t = S : V — время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния). V = S : t — скорость движения прямо пропорциональна пройденному пути и обратно пропорциональна времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний). Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.

Чем старше дерево, тем оно выше. Чем медленнее темп, тем дольше идти до школы. Эти и другие процессы можно описать математическим языком в виде прямой и обратной пропорциональной зависимости. Как это делать — расскажем в этой статье.

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
х = 1 * 30 : 12/8
х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Прямая и обратная пропорциональность

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность - это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf>\)

где k - это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Площадь прямоугольника равна \(\mathbf\), где S- это площадь прямоугольника, а - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения - постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a₁ = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника - сторону a₁ на 1 см, получим

a₂ = 7 см

Найдем площади прямоугольников S₁ и S₂

\(\mathbf = a_ \cdot b = 6 \cdot 4 = 24>\) см 2

\(\mathbf = a_ \cdot b = 7 \cdot 4 = 28>\) см 2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см 2

b₁ = 4 см

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b₁ на 2 см_, получим

b₂ = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a₂

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Алгоритм решение задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
Установить зависимость между величинами
В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

- Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

- Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

6. Составить уравнение

7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Читайте также: