Доклад на тему площадь треугольника
Обновлено: 18.05.2024
1. Формулы площадитреугольника
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.
Существует достаточно большое разнообразие формул для вычисления площади произвольных, равнобедренных, прямоугольных и прочих видов треугольников.
Площадь треугольника может бытьвычислена по формуле
где a - сторона треугольника, h - высота, опущенная на эту сторону.
Указанная формула является основной для вычисления площади треугольника.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона BC равна a, а высота, опущенная на нее, равна h.
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD (см. рис.). Площадь параллелограмма, как мы знаем, равна ah. Площадь треугольникаABC равна половине площади параллелограмма, поскольку треугольники ABC и DCA равны. Значит,
a. Произвольный треугольник
a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
S = aha
S = ab sin
Площадь треугольника равна половине произведения егосторон на синус угла между ними.
Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = ab sin (C).
Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, аточка А имела бы положительную ординату.
Если все выполнить правильно, то должен получиться следующий рисунок.
Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = ah, где h - это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b sin(C).
Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S =ab sin (C). Что и требовалось доказать.
b. Произвольный треугольник
a, b, c — стороны; — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.
S = aha
S = ab sin
c. Прямоугольный треугольник.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, тоесть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.
S = ab
S = chc
d. Равносторонний треугольник.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
6. Примеры решения задач на применение формул площади треугольника.
7. Значение данной темы в развитии представлений о свойствах геометрических фигур.
Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.
Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измере- нии площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов 1 .
Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми
же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольни-
ка, треугольника и трапеции: основание треугольника дели- а
л ось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма
параллельных сторон делилась пополам и умножалась на d
высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со b
с торонами а, b, c, d (рис.1) применялась формула
т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника. С её помощью можно вычислить приближённо площадь таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым.
Для определения площади S равнобедренного треугольника АВС, в котором
АВ = АС, египтяне пользовались приближённой формулой:
Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной АВ и высотой АD треугольника , иными словами, чем ближе вершина В ( и С ) к основанию В высоты из А. Вот почему приближённая формула (2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.
Потребность измерения расстояний и площадей приве-
л а к созданию и на Руси рукописей геометрического содержа-
ния чисто практического характера. Первые сведения о таких
рукописях относятся к XVI в. Спустя столетие, в 1629 г., а а 2 а 2
собраны правила измерения площадей фигур различной кон-
фигурации и приведён ряд примеров, как этими правилами S=a 2 + a 2 = a 2
пользоваться. Но выводов и обоснований указанных правил
нет. В рукописи рекомендуется производить измерение и вы-
числение площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших
фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь прямоуголь-ника согласно указаниям в этой рукописи следует вычислять путём выделения из
прямоугольника наибольшего квадрата, а площадь оставшегося после отсечения
квадрата прямоугольника вычислить, узнав, какую долю наибольшего квадрата составляет его площадь, посредством сравнения длины стороны квадрата и малого прямоугольника (см. рис.2, на котором обозначения даны современные).
Для вычисления площади треугольника в рукописи рекомендуется произведение большей и меньшей сторон разделить на два. Это правило даёт лишь приближённое значение истинного размера площади.
Из сказанного можно заключить, что точного измерения и вычисления площадей
треугольников и трапеций составители этой рукописи не знали.
Вопреки сохранившимся рукописям создание «русскими мастерами каменных
говорит о том что эти мастера обладали довольно основательными знаниями в области геометрии. Без таких знаний сооружение прекрасных зданий, как храм Василия Блаженного в Москве, вряд ли можно совершить.
В своей практической деятельности человек часто имеет дело с площадями.
Чтобы найти, например, урожайность с 1 га, надо знать площадь поля и сколько всего зерна собрано с этого поля. О площади, занимаемой каким - либо государством, мы узнаём из курса географии. Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, например, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев или кафеля. Площадь поверхности дороги нужно знать, например, при расчёте необходимого для её покрытия количества асфальта. Что же такое площадь и как её находить? Чтобы упростить задачу, мы будем сначала рассматривать простые фигуры. Фигуру будем называть простой,
если её можно разбить на конечное число треугольников.
Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Какие же единицы используются при изменении площадей?
В справочной литературе мы находим старинные единицы площадей: 1 акр, 1 десятина.
Прямое измерение площадей на практике затруднено, поэтому применяются косвенные методы, наиболее употребительным из которых является вычисление площадей по формулам. Некоторые формулы вычисления площадей я приведу в своей работе.
Треугольник — не самая популярная фигура в природе и в нашей обычной жизни. Но ей постоянно пользуются дизайнеры одежды, ювелиры, архитекторы. И, наверняка, нахождение площади треугольника является их частой задачей. Подробнее на эту тему поговорим в статье.
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Геометрическая фигура, образованная тремя фигурами, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Основные формулы площади треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника через две его стороны и высоту, проведенную к основанию.
| Рубрика | Математика |
| Вид | презентация |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.04.2015 |
| Размер файла | 240,0 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Расчет площади равнобедренного и равностороннего треугольника. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Расчет размеров медианы, биссектрисы.
презентация [68,7 K], добавлен 16.04.2011
Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
задача [21,9 K], добавлен 08.11.2010
Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011
Треугольник как геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Основные элементы данной фигуры: вершины и стороны. Классификация и разновидности треугольников по различным признакам.
презентация [343,2 K], добавлен 28.11.2013
Площадь как величина, измеряющая размер площади, ее основные свойства и характеристики. Порядок определения площади треугольника, прямоугольника, четырехугольника, ромба, параллелограмма. Интегральное вычисление как методика определения площади.
презентация [259,4 K], добавлен 13.12.2010
Развитие вычислительных умений и навыков при решении задач. Закрепление формул для вычисления площадей геометрических фигур. Доказательства условий равенства пары треугольников. Определение соотношения прямых, заключающих равные углы у треугольников.
презентация [214,6 K], добавлен 04.12.2014
Ознакомление с понятиями синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и основным тригонометрическим тождеством. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольная по заданному основанию и прилегающему к нему углу.
Читайте также: