Доклад на тему невозможные фигуры
Обновлено: 14.05.2024
Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ — что же сделано не так. А ответ найти порой не так — то просто — он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.Невозможные фигур широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакате, оформительском искусстве и логотипах различных фирм, найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.
ученик 6В класса
Коваленко Ольга Алексеевна,
История возникновения невозможных фигур 3
Определение невозможных фигур 5
Виды невозможных фигур 6
Создание невозможных фигур 9
Применение невозможных фигур 10
Список литературы 16
С древних времен люди пытались изображать животных, предметы быта, пейзажи на скале, глиняной дощечке, бересте, а позднее на бумаге и холсте. Понадобилось ни одно столетие, пока они научились объемные тела изображать на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства.
Чтобы изображать на листе бумаги объемный предмет мы не задумываемся над тем, как же можно его, имеющего три измерения / длину, ширину и высоту / втиснуть в бумагу, которая имеет всего два измерения. Значит, нужны условности, которые позволяют поверить в трехмерность изображения. Меня заинтересовали фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись к которым создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Такие фигуры получили название невозможных фигур. Я захотел узнать о них.
Невозможные фигуры – это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.
Невозможные фигуры – это объекты, имеющие отношение к математике, изобразительному искусству и психологии. Невозможные фигуры уже несколько веков привлекают внимание людей.
Целью работы является изучение невозможных фигур.
1. Рассмотреть виды невозможных фигур.
2. Найти области применения невозможных фигур.
3. Научится строить невозможные фигуры.
История возникновения невозможных фигур
Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.
Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. [2] На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.
Несмотря на это, систематическое их изучение началось лишь в середине XX века.
Основоположниками глубокого изучения невозможных фигур можно считать голландского художника Морица Корнилиса Эшера, шведского художника Оскара Реутерсварда и английского математика Роджера Пенроуза.
В 1934 году Оскар Реутерсвард случайно создал свою первую невозможную фигуру – треугольник, составленный из девяти кубиков. Оскар Реутерсвард родился в 1915 году в городе Стокгольме Швеция. Он обучался рисованию под руководством русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца и создал более 2500 различных невозможных фигур.
В 1954 году математик Роджер Пенроуз после лекции М.К. Эшера независимо от Реутерсварда заново открывает невозможный треугольник, но использует линейную, а не параллельную перспективу и соединяет вершины треугольника сплошными линиями, что усиливает эффект. Роджер Перноуз родился в Англии 8 августа 1931 года. [1] Он является выдающимся учёным современности, который активно работает в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории и является членом Лондонского королевского общества. У него очень много наград, таких как премия Вольфа, медаль Дирака, премия Альберта Эйнштейна и медаль Королевского общества.
В 1958 году Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом публикует статью в Британском журнале по психологии, после которой невозможными фигурами заинтересовываются не только математики.
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей [3] .
Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию.
Определение невозможных фигур
До сих пор не существует чёткого определения невозможных фигур. Мною было найдено несколько различных подходов к определению этого понятия.
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры [2] .
Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.
Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.
Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности.
Виды невозможных фигур
Геометрические фигуры – лучшие источник вдохновения для изобретения невозможных объектов. Например, возьмем простой куб. Каждый день мы видим их в огромном количестве в той или иной форме, как вы легко можете видеть из иллюстрации на соседней странице. Для построения этой фигуры мы взяли один из трибаров с предыдущей страницы и разбили его на кубы. При этом ничего не изменилось: новая фигура так же совершенно невозможна, как и предшествующая ей!
Эта фигура, состоящая из 12 кубов, была сконструирована на чертежной доске с помощью прямоугольного треугольника с углами в 30 и 60°. Чертежный треугольник использовали для того, чтобы вписать каждый куб в общую перспективу чертежа. Эффект невозможности, для создания которого использована эта перспектива, достигается неправильным расположением на переднем и заднем плане рядов кубов. Поэтому же принципу строится и трибар. Другими словами, рисунок основан на неправильном соединении правильных рядов кубов.
Рассмотрим следующий пример – пространственную вилку.
Поскольку трудно одновременно рассматривать правую и левую стороны фигуры, то сразу сложно понять, что данный предмет – невозможен. Каждая из сторон, если рассматривать их отдельно, возможна в двухмерном изображении, но невозможна, если рассматривать объект в целом с одной точки.
Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго, штат Иллинойс, в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. [ 4 ]
Создание невозможных фигур
Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже.
Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт.
Применение невозможных фигур
Невозможные фигуры в иконописи
Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках. До нашего времени сохранилось не так уж и много моделей невозможных фигур в храмах. Самым известным из них является изображение невозможного треугольника расположенного на экране перед алтарем. Он находится в церкви Святой Троицы, простроенной бенединскими монахами с 1150 по 1550 годы. Впоследствии она была разрушена, в 1869 году – восстановлена и перестроена.
На иллюстрации изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. К этой же группе можно отнести фреску из церкви Марии города Бреда (Голландия). Фреска была вскрыта под более поздними слоями в 1902 году и датируется концом XV века.
Внутри него, за восемью престолами, представлены святые по чинам: апостолы, мученики, преподобные, отшельники (юродивые), пророки, святители, мученицы и преподобные жены. Постепенно это изображение всё больше стилизировалось и упрощалось. К середине XV века в верхнем регистре иконы уже находилась арка с невозможными перекрытиями. [ 2 ]
Эти фрески были созданы Евгением Матько в Покровском храме в Воронежской области. На каждой из них можно видеть невозможные конструкции.
Оформление часовни Рождества Богородицы возле деревни Ижевцы в Черновецкой области (Украина). На фресках изображено большое количество невозможных фигур, что является характерным приемом художника. В большинстве других примеров использования невозможных конструкций в иконописи появление невозможных конструкций связано, скорее, с ошибками художников, нежели осознанными намерениями
Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре
За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.
В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.
Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру.
Но стоит подойти с другой стороны, и тогда невозможная фигура станет совсем реальным сооружением.
В качестве примера невозможных фигур в архитектуре можно привести так называемые Кубические дома. Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором Пиетом Бломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов, соединенных друг с другом. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. На первом этаже – вход, на втором – кухня и гостиная, на третьем – спальня и ванная комната, на четвертом этаже часто устраивают оранжерею. Крыши домов, окрашенные в белый и серый цвета, при взгляде сбоку напоминают горные пики, покрытые снегом. Этот комплекс зданий обладает еще одним интересным свойством. С высоты птичьего полета здания образуют конструкцию, выглядящую как невозможная фигура.
Невозможные фигуры в живописи
Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.
Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все.
Невозможные фигуры в филателистке
В 1982 году по заказу правительства Швеции Оскаром Реутерсвардом были выполнены марки с изображениями невозможных фигур. Марки выпускались ограниченным тиражом, сегодня они являются большой редкостью и пользуются большим спросом среди филателистов. В ближайшее время планируется очередной их тираж. Первая же из таких марок была посвящена математичскому конгрессу в Инсбруке (Австрия), проходившему в 1981 году. За основу взят невозможный ящик Эшера.
Шведские марки с изображениями знаменитых фигур Оскара Реутерсварда, выпущенные в 1982 году.
Невозможные фигуры в оформительском искусстве.
Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов.
В оформлении обложек учебников по алгебре для 7 класса традиционно используются невозможные фигуры.
Невозможные фигуры в мультипликации
Интерес к невозможным фигурам отразился и в мультипликации и кинематографе.
В начале мультфильма есть сцена, в которой присутствуют нарушения перспективы. В них Король Моря оперирует с объектами, находящимися от него на большом расстоянии так, как будто просто маленького размера и находятся рядом с ним. Ниже представлены несколько скриншотов из этой сцены.
В современном популярном американском анимационном сериале Финес и Ферб, рассказывается о том, как проводят летние каникулы два сводных брата. Каждый день они затевают новый грандиозный проект
Невозможные фигуры в логотипах и символике
Известно использование невозможных фигур в массовой культуре.
Посмотрите на логотип французской автомобильной компании Renault. В 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник.
Вот примеры логотипов реально существующих фирм, в начертании которых присутствуют невозможные фигуры.
Логотип мебельного магазина Мебельные галлюцинации.
Невозможное кольцо является логотипом компании Swirlyspace, занимающей разработкой приложений для iPhone.
Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ — что же сделано не так. А ответ найти порой не так — то просто — он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.
Изучив литературу по теме, я понял, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смог нарисовать свои невозможные фигуры.
Мне удалось показать, что все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.
Невозможные фигур широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакате, оформительском искусстве и логотипах различных фирм, найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.
Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Все это позволяет говорить об актуальности изучаемой темы.
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры[1].
Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.
Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.
Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.
2.Виды невозможных фигур
- Удивительный треугольник – трибар (рис.2).
Рисунок 2. Трибар
Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара (рис.3-6).
Рисунок 3. Тройной деформированный трибар
Рисунок 4. Треугольник из 12 кубов
Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году [2]. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.
Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.
Рисунок 8. Космическая вилка
Рисунок 9. Невозможные ящики
2.Применение невозможных фигур
В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.
-
Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре
За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.
В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.
Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру (рис. 10).
Рисунок 10. Треугольник Пероуза в Австралии
.Невозможные фигуры в живописи
Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью.
Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.
Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все.
- Невозможные фигуры в оформительском искусстве
Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов.
Учебник по алгебре для 7 класса (рис.11).
Рисунок 11. Учебник Алгебры
НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
С некоторых пор меня заинтересовали такие фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись можно увидеть, что что-то в них не так. Основной интерес для меня представляли так называемые невозможные фигуры, посмотрев на которые создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Я захотел узнать о них больше.
Цели проекта:
1.Выяснить, как создаются нереальные фигуры.
2. Найти области применения невозможных фигур.
2.Составить классификацию невозможных фигур.
3.Рассмотреть способы построения невозможных фигур.
4.Создать невозможную фигуру.
Немного истории
Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.
Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.
Виды невозможных фигур.
Удивительный треугольник – трибар.
Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара.
Тройной деформированный трибар
Треугольник из 12 кубов
Бесконечная лестница
Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.
Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.
Создатели этой лестницы воспользовались параллельными линиями при разработке конечных деталей блоков, находящихся на одинаковом расстоянии; кажется, что некоторые блоки перекручиваются, чтобы соответствовать иллюзии.
Космическая вилка.
Башня с четырьмя колоннами-близнецами.
Невозможные ящики
Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно.
Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое.
Оскар Рутерсвард – отец невозможной фигуры.
Другой вид – сомнительные невозможные фигуры. Эти фигуры не представляют собой единых цельных тел. Они являются соединением двух или большего числа фигур. Их нельзя ни раскрасить, ни нанести на них свет и тени.
Один вариант этих невозможных фигур очень легко выполнить, и многие из тех, кто машинально чертит геометрические
фигуры, когда разговаривает по телефону, это уже не раз делали. Нужно провести пять, шесть или семь параллельных линий, закончить эти линии в разных концах по-разному – и невозможная фигура готова. Если, например, провести пять параллельных линий, то их можно закончить как две балки с одной стороны и три с другой.
На рисунке мы видим три варианта сомнительных невозможных фигур. Слева трех-семибалочник, построенный из семи линий, в котором три балки превращаются в семь. Фигура в середине, построенная из трех линий, в которой одна балка превращается в два круглых бруса. Фигура справа, построенная из четырех линий, в которой два круглых бруса превращаются в две балки
За свою жизнь Рутерсвард изобразил около 2500 фигур. Книги Рутерсварда опубликованы на многих языках, в том числе на русском.
Невозможные фигуры — возможны!
Русский художник Анатолий Коненко, наш современник, разделил невозможные фигуры на 2 класса: одни можно смоделировать в реальности, а другие – нельзя. Модели невозможных фигур называются моделями Амес.
Я изготовил модель Амес своего невозможного ящика. Я взял сорок два кубика и склеил их, получился куб, в котором часть ребра отсутствует. Отмечу, что для создания полной иллюзии необходим правильный угол зрения и верное освещение.
Я изучил невозможные фигуры с применением теоремы Эйлера и пришёл к следующему выводу: теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.
Я создаю свои невозможные фигуры, пользуясь советом О.Рутерсварда. Я начертил на бумаге семь параллельных отрезков. Соединил их снизу ломаной линией, а сверху придал им форму параллелепипедов. Посмотрите на нее сначала сверху потом снизу. Таких фигур можно придумать бесконечно много. См. приложение.
Применение невозможных фигур
В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.
За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.
Математики утверждают, что и дворцы, в которых можно спуститься вниз по лестнице, ведущей вверх, могут существовать. Для этого нужно лишь построить такое сооружение не в трехмерном, а, скажем, в четырехмерном пространстве. А уж в виртуальном мире, который открывает нам современная компьютерная техника, и не такое можно натворить. Вот так в наши дни осуществляются задумки человека, который еще на заре века поверил в существование невозможных миров.
Заключение.
Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ — что же сделано не так, в чем скрыта изюминка парадокса. А ответ найти порой не так — то просто — он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков.
Развитие науки, необходимость мыслить по-новому, поиски прекрасного — все эти требования современной жизни заставляют искать новые методы, которые способны изменить пространственное мышление, воображение.
Вывод1: Все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире.
Вывод2: Теорема Эйлера, верная для любого выпуклого многогранника, неверна для невозможных фигур, но верна для их моделей Амес.
Вывод3: Найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры.
Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству, невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то нового, необычного.
Способность создавать и оперировать пространственными образами характеризует уровень общего интеллектуального развития человека. В психологических исследованиях экспериментально подтверждено, что между склонностью человека к соответствующим профессиям и уровнем развития пространственных представлений имеет место статистически достоверная связь. Широкое применение невозможных фигур в архитектуре, живописи, психологии, геометрии и во многих других областях практической жизни дают возможность больше узнать о различных профессиях и определиться с выбором будущей профессии.
Ключевые слова: трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда.
Цель исследования: изучение свойств невозможных фигур с помощью с помощью 3-D моделей.
Задачи исследования:
- Изучить виды и составить классификацию невозможных фигур.
- Рассмотреть способы построения невозможных фигур.
- Создать невозможные фигуры с помощью компьютерной программы и 3D моделирования.
Понятие невозможных фигур
Анализируя разные определения, приходим к выводу:
невозможная фигура — это плоский рисунок, который создает впечатление трехмерного объекта таким образом, что объект, предложенный нашим пространственным восприятием, не может существовать, так что попытка создать его ведет к (геометрическим) противоречиям, ясно видимыми наблюдателем.
Когда мы смотрим на изображение, которое создает впечатление пространственного объекта, наша система пространственного восприятия пытается найти пространственную форму, определить ориентацию и структуру, начиная с анализа отдельных фрагментов и намеков на глубину. Далее, эти отдельные части комбинируются и координируются в некотором порядке для создания общей гипотезы о пространственной структуре объекта целиком. Обычно, несмотря на то, что плоское изображение может иметь бесконечное множество пространственных интерпретаций, наш механизм интерпретации выбирает только одну — наиболее естественную для нас. Именно эта интерпретация изображения далее проверяется на возможность или невозможность, а не сам рисунок. Невозможная интерпретация получается противоречивой по своей структуре — различные частичные интерпретации не подходят к общему непротиворечивому целому.
Фигуры являются невозможными, если их естественные интерпретации оказываются невозможными. Однако, это не подразумевает, что не существует какой-либо другой интерпретации этой же фигуры, которая может существовать. Таким образом, нахождение метода точного описания пространственных интерпретаций фигур является одним из основных путей для дальнейшей работы с невозможными фигурами и механизмами их интерпретации. Если суметь описать различные интерпретации, то можно будет сравнивать их, соотносить фигуру и ее различные интерпретации (понять механизмы создания интерпретаций), проверять их соответствие или определять типы несоответствия и т. п.
Виды невозможных фигур
Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.
В ходе работы над темой изучены 4 вида невозможных фигур: трибар, бесконечная лестница, невозможные ящики и космическая вилка. Все они уникальны по-своему.
Трибар (треугольник Пенроуза)
Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Рейтесвэрд в 1934 г. впервые представил миру невозможный треугольник из кубиков. В честь этого события в Швеции издана почтовая марка. Трибар можно сделать из бумаги. Любители оригами нашли способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого. Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.
Бесконечная лестница.
Невозможные ящики.
Космическая вилка.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект — плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.
Изготовление моделей невозможных фигур по чертежам
Трибар
Бумажная модель:
Невозможный брусок
Построение невозможных фигур в программе Impossible Constructor
Программа Impossible Constructor предназначена для конструирования изображений невозможных фигур из кубиков. Основными недостатками этой программы были сложность выбора нужного кубика (отыскать один нужный кубик из 32-х доступных в программе достаточно тяжело), а также то, что не были предусмотрены все варианты кубиков. Предлагаемая программа предоставляет к выбору полный набор кубиков (64 кубика), а также дает более удобный способ нахождения требуемого кубика при помощи конструктора кубиков.
Моделирование невозможных фигур.
Печать 3D моделей невозможных фигур на принтере
В ходе работы модели четырех невозможных фигур распечатаны на 3D принтере.
Треугольник Пенроуза
Процесс создания трибара:
Вот что у меня получилось в итоге:
Куб Эшера
Процесс создания куба: В конечном итоге получена модель:
Лестница Пенроуза (всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение):
Треугольник Рейтерсвэрда (первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков):
Процесс подготовки к печати дал возможность на практике научиться строить стереометрические фигуры на плоскости, выполнять проекции элементов фигур на заданную плоскость и продумывать алгоритмы построения фигур. Созданные модели помогли наглядно увидеть и проанализировать свойства невозможных фигур, сравнить их с известными стереометрическими фигурами.
Эта цитата непосредственно относится к данной работе. Действительно, невозможные фигуры существуют, если взглянуть на них под определенным углом. Мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Они существуют с древних времен по наше время. Их можно встретить практически везде: в искусстве, архитектуре, в массовой культуре, в живописи, в иконописи, в филателистике. Невозможные фигуры представляют большой интерес для психологов, когнитивистов и эволюционных биологов, помогая больше узнать о нашем зрении и пространственном мышлении. Сегодня компьютерные технологии, виртуальная реальность и проекции расширяют возможности, так что на противоречивые объекты можно взглянуть с новым интересом. Существует множество профессий, которые так или иначе связаны с невозможными фигурами. Все они востребованы в современном мире, а потому изучение невозможных фигур является актуальным и нужным.
Основные термины (генерируются автоматически): фигура, невозможная фигура, космическая вилка, бесконечная лестница, задний план, невозможный треугольник, модель, бумажная модель, нужный кубик, пространственное восприятие.
Ключевые слова
трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда
трибар, бесконечная лестница, космическая вилка, невозможные ящики, треугольник и лестница Пенроуза, куб Эшера, треугольник Рейтерсвэрда
Похожие статьи
Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд
Невозможные фигуры были известны ещё в Средневековье, но систематическое их
Предположим, что треугольник Пенроуза можно создать из обычных трёх брусков бумаги.
Развитие критического мышления через пространственное.
Многие художники умело пользуются свойствами, присущими изображениям невозможных
Для того, чтобы четырехмаршовая лестница в изометрии выглядела как бесконечная.
Характеристика метода моделирования в формировании.
Поэтому модель определяется обычно как некий объект (система), исследование
Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций
Этот игровой материал – один из лучших для пространственного математического моделирования с детьми.
Развитие пространственного мышления у студентов в начале.
Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой
Чтобы получить эпюр точки, нужно преобразовать пространственный макет.
Процесс пространственного мышления должен включать в себя несколько операций.
Математическое моделирование в детском саду
Невозможно представить современную жизнь без наук. Испокон веков люди, познавая окружающий мир, совершали
Пространственное моделирование на базе оригами.
Развитие пространственных представлений учащихся при.
В статье изучаются вопросы формирования и развития пространственных представлений учащихся при решении геометрических олимпиадных задач. Исследуются основные причины снижения геометрической подготовленности учащихся школ.
GeoGebra как средство решения стереометрических задач
Важно, чтобы ученик, глядя на плоский рисунок, мог вообразить это пространственное тело и выявить данные по условию задачи элементы.
Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т.
Похожие статьи
Невозможные фигуры, особенности их восприятия и применение
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд
Невозможные фигуры были известны ещё в Средневековье, но систематическое их
Предположим, что треугольник Пенроуза можно создать из обычных трёх брусков бумаги.
Развитие критического мышления через пространственное.
Многие художники умело пользуются свойствами, присущими изображениям невозможных
Для того, чтобы четырехмаршовая лестница в изометрии выглядела как бесконечная.
Характеристика метода моделирования в формировании.
Поэтому модель определяется обычно как некий объект (система), исследование
Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций
Этот игровой материал – один из лучших для пространственного математического моделирования с детьми.
Развитие пространственного мышления у студентов в начале.
Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой
Чтобы получить эпюр точки, нужно преобразовать пространственный макет.
Процесс пространственного мышления должен включать в себя несколько операций.
Математическое моделирование в детском саду
Невозможно представить современную жизнь без наук. Испокон веков люди, познавая окружающий мир, совершали
Пространственное моделирование на базе оригами.
Развитие пространственных представлений учащихся при.
В статье изучаются вопросы формирования и развития пространственных представлений учащихся при решении геометрических олимпиадных задач. Исследуются основные причины снижения геометрической подготовленности учащихся школ.
GeoGebra как средство решения стереометрических задач
Важно, чтобы ученик, глядя на плоский рисунок, мог вообразить это пространственное тело и выявить данные по условию задачи элементы.
Однако, при решении стереометрических задач они не всегда эффективны: на моделях нельзя ставить точки, проводить прямые, плоскости и т.
Читайте также: