Доклад на тему математические функции

Обновлено: 12.06.2024

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 f( х2 )

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k 0функция возрастает, а при k 0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k 2

Свойства функции y=x 2 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8. В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х| n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7. В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y= Ö х

Свойства функции y= Ö х :

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y= Ö х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y= 3 Ö х

Свойства функции y= 3 Ö х :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y= 3 Ö х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y= n Ö х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y= Ö х . При нечетном n функция y= n Ö х обладает теми же свойствами, что и функция y= 3 Ö х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x r :

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x 5 /2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x r , где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x 2 /3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x r , где 0 -r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x -r :

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Математические функции и их применение. Презентация на заданную тему содержит 13 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500

Введение Актуальность. На протяжение многих веков математические функции были очень удобным способом отображение большинства данных, напрямую зависящих от двух или трёх факторов. Также некоторые задачи, как в точных науках, так и в естественных и гуманитарных, решаются только через функции , к примеру, если нужно вычислить, сколько требуется фактора X, чтобы численность особи Z увеличилось в Y раз. Проблема. В школьном курсе математики изучаются базовые математические функции, но не объясняется их применение в науках, и обычному ученику становится непонятно, для чего они изучают данную тему. Историческая справка. Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления (вывода). Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год). Методы работы : анализирование информации и текста, обобщение её и систематизация.

Примеры сложных функций. Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная. А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций. 1. y = sin|x|

Сложные функции в пространстве Примерами аналогий распространённых графиков на плоскости в пространстве могут служить : эллипсоиды, гиперболоиды и параболиды.

Множество Мандельброта. Множество Мандельброта — это множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение z[n+1]=z[n]^2+c при z[0]=0 задаёт ограниченную последовательность. То есть, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство |z[n]|

Задача 1. Вычислить угол прямоугольного треугольника, зная его катеты. Численно угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между этой прямой и осью абсцисс.

Задача 2. Нужно вычислить, сколько требуется фактора X, чтобы численность особи бактерий Z увеличилось в Y раз.

Заключение. Таким образом, в ходе исследовательской работы мы : 1. Рассмотрели некоторые сложные функции на плоскости и в пространстве. 2. Нашли применение математическим функциям в математике и естественных науках.


Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Описание разработки

Введение

Наука неисчерпаема, но этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую радость. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

Функции – математические портреты устойчивых закономерностей природы. Функции позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений окружающего мира в динамике. Это помогает проникать в саму суть физических явлений, заданных аналитически, позволяет решать сложные задачи графически, осуществлять переход от формулы к функциональной зависимости.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Систематизируя наиболее устойчивые и поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек научился рассматривать их, как частный случай сравнительно немногих общих соотношений. Человек назвал их законами природы. Знание законов природы дало человеку возможность объяснить и предсказывать её разнообразнейшие явления.

В рамках одной работы невозможно полностью показать все многообразие применений функций и их исследований, поэтому

целью моей работы является показать некоторые примеры нестандартного взгляда на применение математических понятий и функций в окружающей нас жизни.

То, что на первый взгляд ускользает из поля зрения, и на что не всегда можно обратить внимание.

Тем не менее, это очень интересно и познавательно - видеть знакомое в незнакомом!

I. Функции в математике

1. Из истории возникновения функции. Определения функции.

Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны, достаточно давно. Они ещё не умели считать, писать, но уже интуитивно чувствовали, и на практике проверяли некоторые закономерности и делали выводы. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Э йлером (1751 год), затем — у Лак руа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачев ским (1834 год) и Дир ихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторн ые функции, вскоре Ф реге ввёл логические функции (18 79), а после появления теори и множеств Дед екинд (188 7) и Пе ано (19 11) сформулировали современное универсальное определение.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна велич ина полностью определяет значение другой величины.

Весь материал - смотрите документ.

Содержимое разработки

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Функции вокруг нас.

Автор: Синенкова

Руководитель: Моренкова

I квалификационной категории

I. Функции в математике.

1. Из истории возникновения функции. Определения функции..4

2. Способы задания функции, особенности. График функции….5

3. Виды функций, типы функций, некоторые характеристики….6

II. Функции вокруг нас

2. Мой первый в жизни график…………………………………….9

3. Кардиограмма – график работы сердца……………………….10

4. Мороженое и кусочно-линейная функция……………………..11

6. Функции и юмор

IV. Список использованных источников и литературы………….22

«Когда математика стала изучать

переменные величины и функции,

как только она научилась

описывать процессы, движение,

Наука неисчерпаема, но этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую радость. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

Функции – математические портреты устойчивых закономерностей природы. Функции позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений окружающего мира в динамике. Это помогает проникать в саму суть физических явлений, заданных аналитически, позволяет решать сложные задачи графически, осуществлять переход от формулы к функциональной зависимости.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Систематизируя наиболее устойчивые и поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек научился рассматривать их, как частный случай сравнительно немногих общих соотношений. Человек назвал их законами природы. Знание законов природы дало человеку возможность объяснить и предсказывать её разнообразнейшие явления.

В рамках одной работы невозможно полностью показать все многообразие применений функций и их исследований, поэтому

целью моей работы является показать некоторые примеры нестандартного взгляда на применение математических понятий и функций в окружающей нас жизни.

То, что на первый взгляд ускользает из поля зрения, и на что не всегда можно обратить внимание.

Тем не менее, это очень интересно и познавательно - видеть знакомое в незнакомом!

I. Функции в математике

1. Из истории возникновения функции. Определения функции.

Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны, достаточно давно. Они ещё не умели считать, писать, но уже интуитивно чувствовали, и на практике проверяли некоторые закономерности и делали выводы. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.

Понятие функции можно считать стержнем, вокруг которого группируется преподавание математики. Никакое другое понятие не отражает явлений реальной действительности с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости.

Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами. Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин.


Знакомое обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины x по определенному закону, или правилу, обозначаемому f.

2. Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину x, делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат) – и получаем величину y.


3. В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается x, а на выходе получается .


Итак, в данном случае, функция – это действие над переменной.

4. Определение функции, чаще всего встречающееся в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

2. Способы задания функции. Особенности. График функции.

Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

1. Табличный способ.

При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.

Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.

Недостатки: 1. Обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.

2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.


Мы знаем, как соответствовать определенным чертам: быть вежливым, опрятным, инициативным. А как быть соответствиям между числовыми множествами — узнаем в этой статье про математические функции.

О чем эта статья:

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:


пример функции

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида


вид Функции

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Читайте также: