Доклад на тему четырехугольник

Обновлено: 07.07.2024

Четырехугольник - геометрическая фигура с четырьмя сторонами. Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Работа состоит из 1 файл

Четырехугольник.docx

Четырехугольник.

На рисунке изображен четырехугольник. Четырехугольник обозначается указанием его вершин, причем рядом стоящие в обозначении вершины должны лежать на одной стороне. Сторонами четырехугольника являются отрезки АВ, ВС, СЕ и ЕА, вершинами - точки А, В, С и Е, углами - ©А, ©В, ©С и ©Е. Стороны АВ и ВС являются соседними сторонами, а углы ©В и ©С - соседними углами. Стороны АВ и СЕ - противоположные.
Если четырехугольник лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую из его сторон, то он называется выпуклым.
Отрезок АС называется диагональю данного четырехугольника, так как содержит две противолежащие вершины.
В предыдущей главе предметом нашего рассмотрения были треугольники и их свойства. В настоящей главе мы изучим свойства четырехугольников. Заметим, что если мы разобьем четырехугольник на треугольники с помощью диагоналей, то сможем применить известные нам свойства треугольников для описания свойств четырехугольников. Следующие определения описывают несколько специальных видов четырехугольников.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны, то четырехугольник - параллелограмм.

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, то четырехугольник - параллелограмм.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны.

Так как ромб является параллелограммом, то для него справедливы все свойства параллелограмма. Таким образом, все теоремы, сформулированные в предыдущем разделе для параллелограммов, верны также и для ромбов. Кроме того, по определению все стороны ромба равны. Далее мы приведем две теоремы, которые характеризуют дополнительные свойства ромбов.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются под прямым углом.

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали являются биссектрисами его углов.

Прямоугольники и квадраты.

Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.

Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Свойства четырехугольников:

1. Пусть ABCE параллелограмм, тогда:
a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
b) Противолежащие стороны равны
c) Противолежащие углы равны
d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

2. Пусть ABCE прямоугольник, тогда:
a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
b) Противолежащие стороны равны
c) Противолежащие углы равны
d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
e) Диагонали равны

3. Пусть ABCE ромб, тогда:
a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
b) Противолежащие стороны равны
c) Противолежащие углы равны
d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
e) Диагонали перпендикулярны
f) Все стороны равны
g) Диагонали ромба делят его углы пополам

4. Пусть ABCE квадрат, тогда:
a) Диагональ делит ABCE на два равных треугольника
b) Противолежащие стороны равны
c) Противолежащие углы равны
d) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
e) Диагонали равны
f) Диагонали перпендикулярны
g) Диагонали квадрата делят его углы пополам
h) Все стороны равны

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.

На данном рисунке изображена равнобокая трапеция ABCE. Параллельные стороны, BC и AE, являются основаниями. AB и CE - равные боковые стороны.

Следующие теоремы описывают свойства равнобоких трапеций.

В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Диагонали равнобокой трапеции равны.

Средняя линяя трапеции: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Многоугольники.

Многоугольник - геометрическая фигура с несколькими сторонами.

Многоугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех или более отрезков, лежащих в одной плоскости; каждый отрезок пересекает ровно два других отрезка в их концах, которые являются концами данного отрезка; никакие два пересекающихся отрезка не лежат на одной прямой. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Названия многоугольников.

3 стороны треугольник 8 сторон восьмиугольник
4 стороны четырехугольник 9 сторон девятиугольник
5 сторон пятиугольник 10 сторон десятиугольник
6 сторон шестиугольник 20 сторон двадцатиугольник
7 сторон семиугольник n сторон n-угольник

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. У n- угольника 2n внешних
углов.

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Для того, чтобы найти периметр прямоугольника необходимо сложить длины всех его сторон.

Свойства

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ( ). См. также теорема Птолемея .
Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ( )
Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
См. также свойства центроида четырёхугольника.
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

Его можно представить ещё в виде:

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями d₁, d₂ и углом α между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

, где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон.
, где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты .

Если 4-угольник и вписан и описан, то .

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d [1] :

Работа содержит презентацию и информационный реферат по теме :"Четырёхугольники и их свойства" . Где даются определения и рассматриваются свойства четырёхугольников:параллелограмма, ромба, праямоугольника, квадрата, трапеции. Рассмотрены задачи с прикладным содержанием.

Вложение	Размер
chetyrekhugolniki_i_ikh_svoystva.rar	1.22 МБ

Подписи к слайдам:

- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Свойства и признаки параллелограмма
Свойства и признаки параллелограмма
Противолежащие углы попарно равны
Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180 градусов
Свойства и признаки параллелограмма
Диагонали точкой пересечения делятся пополам
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
Свойства и признаки параллелограмма
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Свойства и признаки параллелограмма
Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.
Обе диагонали делят четырехугольник на четыре равновеликих треугольника (одинаковой площади)
Площадь параллелограмма
Через сторону и опущенную на нее высоту:

Через две прилежащие стороны и угол между ними:
Площадь параллелограмма
Через диагонали и угол между ними:
Ромб
Свойства ромбаВсе стороны равны.
Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
- это параллелограмм с равными сторонами
Свойства и признаки ромба
Обе диагонали являются биссектрисами внутренних углов
Прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии.
Площадь ромба
Через сторону и высоту:
Через сторону и радиус вписанной окружности:
Через сторону и угол ромба:
Через диагонали:
Квадрат
- это прямоугольник, у которого все стороны равны
Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменяется при повороте на
Свойства и признаки квадрата
Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь делятся пополам
Площадь квадрата
Через сторону:Через диагональ:
Прямоугольник
Свойства прямоугольникаДве стороны параллельны, и углы прямые. Две противолежащие стороны равны, и углы также прямые.
- это параллелограмм, у которого все углы прямые

Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам
Площадь прямоугольника
Через стороны:Через диагональ и угол между диагоналями:
Трапеция
- это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие – не параллельны (боковые стороны)
Свойства трапеции
Свойства трапецииСредняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме.Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна
Свойства трапеции
Треугольники AOD и DOC, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади)
Треугольники AOD и COB, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.Коэффициент k равен отношению оснований:Отношение площадей этих треугольников равно
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. S= ∙ h
Площадь трапеции равна произведениюсредней линии на высоту.S= MN∙ h
Практические задачи
1. Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали, чтобы из него можно было сделать 50 шайб? Ширина листа 300 мм.
Решение: n=50 шт.1) 2)3) BC = 600 мм. Ответ: BC = 600 мм.
Проверь себя
1. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м.Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60 градусов, а высота насыпи равна 12 м.Ответ: ширина 74 м.
3. Поперечный разрез траншеи имеет форму трапеции. Найти угол уклона стенок траншеи? Стороны равны по 2 мОтвет: 63 градуса
2. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая информация?Ответ: да, достаточно.
Проверь себя
4. Прямоугольное поле стадиона окружено беговой дорожкой. Она состоит из двух прямолинейных участков и двух полуколец. Длина беговой дорожки должна быть 400 м. Рассчитайте размеры прямоугольного поля и ширину дорожкиОтвет: a=25, BC =125
Заключение
При работе над своим информационным проектом, я заметил, что четырехугольники один из интересных разделов планиметрии. Знания свойств четырехугольников помогают в решении многих практических задач во многих сферах деятельности человека (в строительстве и земледелии, в производстве и быту). Также я обобщил свои зная по выбранной мною теме. Я узнал много интересной и полезной информации, которая мне в будет полезна в дальнейшем изучении курса геометрии.
Литература
Г.П.Бевз “Геометрия 7-11 класс.“ Москва, “Просвещение“, 1994 В.Г.Болтянский “Экспериментальное пособие по геометрии для 8 класса.“ “Педагогика“, 1977 Л.Э.Генденштейн “Наглядный справочник по геометрии.“ Москва, “Издат-школа“, 1997 Г.И.Глейзер “История математики в школе VII – VIII классы.“ Москва, “Просвещение“, 1982 В.А.Гусев “Дидактические материалы по геометрии. “ Москва, “Просвещение“, 2001 Б.Г.Зив “Задачи по геометрии.“ Москва, “Просвещение“, 2000А.Я. Симонов “Упражнения по математике” Москва, “Просвещение“, 1991

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противолежащие стороны равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.
Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Сохраняет свойства ромба.
Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Четырёхугольник — это выпуклый многоугольник с четырьмя углами и четырьмя сторонами. Четырёхугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

Обозначение четырёхугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: четырёхугольник ABCD :

В четырёхугольнике ABCD точки A, B, C и D — это вершины четырёхугольника, отрезки AB, BC, CD и DA — стороны.

Вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними, вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими:

В четырёхугольнике ABCD вершины A и B, B и C, C и D, D и A — соседние, а вершины A и C, B и D — противолежащие. Углы, лежащие при соседних вершинах, также называются соседними, а при противолежащих вершинах — противолежащими.

Стороны четырёхугольника также можно попарно разделить на соседние и противолежащие: стороны, имеющие общую вершину, называются соседними (или смежными), стороны, не имеющие общих вершин — противолежащими:

Стороны AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB — смежные, а стороны AB и DC, AD и BC — противолежащие.

Если противолежащие вершины соединить отрезком, то такой отрезок будет называться диагональю четырёхугольника. Учитывая, что в четырёхугольнике есть всего две пары противолежащих вершин, то и диагоналей может быть всего две:

Отрезки AC и BD — диагонали.

Виды четырёхугольников

Рассмотрим основные виды выпуклых четырёхугольников: